denkzettel nr. 59
	Ringfinger "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht; alles andere ist Menschenwerk."
09.09.2001 / A. Schreiber	Leopold Kronecker (1821-1891)

Mit einigen Zahlen – so scheint es – hat er sich dabei besondere Mühe gegeben, allen voran mit der Sechs. Nach biblischer Exegese ist sie ohnehin geadelt als Anzahl der Tage, in denen Gott seine Werke schuf. Schon im Altertum erklärten die Pythagoräer die Sechs für vollkommen, da sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist: 6 = 1 + 2 + 3. Diese über jeden praktischen Nutzen erhabene Tatsache begründet möglicherweise den Brauch, dass wir Ringe bevorzugt an dem dafür namentlich vorgesehenen Finger tragen. Moritz Cantor erwähnt dazu in seinen Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (I, S. 87) die Überlieferung, der zufolge schon im alten Ägypten die Zahl 6 dargestellt wurde, indem man den Ringfinger (der linken Hand) nach innen bog und die übrigen Finger gestreckt ließ. Auf diese Weise hat der Ringfinger teil an der Vollkommenheit der Sechs.

Die Fingerzahlen aus alter Zeit hat der gelehrte englische Benediktinermönch Beda Venerabilis (673-735) als erster aufgezeichnet. Die Beschreibung Bedas findet sich in seinem Werk über die Zeitrechnung als Einleitung unter der Überschrift De computo vel loquela digitorum ("Über das Rechnen und die Sprache der Finger"). Beda sagt darin über die Fingerzahl Sechs:

Quum dicis sex, tertium nihilominus elevabis, medio duntaxat solo, qui Medicus appellatur, in medium palmae fixo. "Bei sechs mußt du wohl den Mittelfinger strecken, aber dann den Ringfinger, der Medicus heißt, allein wieder auf die Handfläche beugen" (nach K. Menninger: Zahlwort und Ziffer I, 1958, S. 6)

Die berühmte Summa de Arithmetica des Luca Pacioli, viel später (1494) in Venedig erschienen, enthielt dann Tabellen mit zahlreichen Fingerbildern für die linke und rechte Hand (das hier für die Zahl 6 gezeigte wurde daran angelehnt nachgezeichnet).

Ist diese Geschichte wirklich der Hintergrund für das Vorrecht des Ringfingers? Ein – vielleicht nicht einmal unerwünschter – Rest von Spekulation wird da wohl bleiben. Beiläufig erwähnt Beda die antike Bezeichnung Medicus. Sie entspringt der Annahme, vom Ringfinger führe eine Ader direkt zum Herzen. Die von Anselm Feuerbach hinreißend gemalte Hand der Nanna Risi, die dem Maler in Rom Modell gestanden hat, scheint uns unauffällig an diesen anderen Grund erinnern zu wollen.

Ausschnitt aus Nanna, von Anselm Feuerbach (1829-1880)

Jagd auf Zahlen

Gibt es außer 6 weitere vollkommene Zahlen? In der Tat, die nächsten sind – wie man von Hand nachrechnen kann – 28, 496 und 8128. Heute sind erst etwa drei Dutzend bekannt, die größeren von ihnen (mit tausenden von Ziffern) nur dank schneller Computer. Ebenso berühmt wie betagt sind zwei bislang ungelöste Probleme:

• Gibt es unendlich viele vollkommene Zahlen? (vermutlich ja)
• Gibt es ungerade vollkommene Zahlen? (vermutlich nein)

Die MacTutor-Archive bieten einen historischen Zugang zum Thema. Bei John Voight findet man neben einer elementaren Einführung auch den Vorstoß zu einem Beweis der zweiten Vermutung. Einen technischen Überblick mit weiterführenden Verweisen hält Achim Flammenkamp unter dem Titel Multiply Perfect Numbers bereit.

Bezeichnet s(n) die Summe der echten Teiler von n, so sind vollkommene Zahlen gerade die Fixpunkte von s: s(n) = n. Manche Zahlen gewinnt man aber erst durch mehrmaliges Anwenden von s zurück, z.B. s(220) = 284, s(284) = 220. Gelingt dies, wie hier, im zweiten Schritt, so heißen die Zahlen befreundet. Martin Gardner weiß in Mathematische Hexereien (Berlin 1977, S. 171 f.) zu berichten:

"Die pythagoräische Brüderschaft sah in den Zahlen 220 und 284 Symbole der Freundschaft. Biblische Interpreten erkannten in der Genesis 32:14 in der Zahl 220 die Anzahl der Ziegen, die Esau von Jakob bekommen hatte. ... Erst im Jahre 1636 wurde ein weiteres Paar befreundeter Zahlen (17296 und 18416) von dem bedeutenden Mathematiker Pierre de Fermat entdeckt. ... Dann im Jahre 1867 überraschte der sechzehnjährige Italiener B. Niccolò I. Paganini die mathematische Welt mit der Veröffentlichung, daß 1184 und 1210 befreundet seien. Dieses Paar war das zweitniedrigste und war bis dahin vollkommen übersehen worden."

Bis heute hat man über tausend Paare gefunden (zum Stand vgl. etwa David Moews). – Eine Verallgemeinerung der befreundeten sind die geselligen Zahlen. Diese bilden bei der Iteration der Teilersummenfunktion s einen Zyklus der Länge k (für k = 2 ergeben sich die befreundeten Zahlen). P. Poulet entdeckte im Jahre 1918 Zyklen der Länge 5 und 28; einen kürzeren Zyklus der Länge 4 fand W. Borho 1969. Im Jahre 1888 vermutete E. Catalan die Existenz von Zahlen n, in deren Iteriertenfolge n, s(n), s(s(n)), ... kein geselliger Zyklus vorkommt. Das ist noch nicht bestätigt und wohl auch schwer zu beweisen.