denkzettel nr. 111
	Die Kunst des Halbierens
20.02.2007 / A. Schreiber

Halbieren ist ursprünglich gerechtes Teilen. Das spürt jeder, der ein halbes Brot kauft. Die Bäckersfrau zerteilt es, die Hälfte auswählen möchte man aber selbst. Das Beispiel berührt schon die Spieltheorie, in der man Konfliktsituationen mathematisch beschreibt und nach Gleichgewichtslösungen sucht. Im Übrigen braucht es nicht viel Fantasie sich vorzustellen, dass Halbieren in der Mathematik insgesamt eine bedeutende Rolle spielt.

Ein sinnreiches Verfahren ist das fortgesetzte Halbieren. Nehmen wir das Beispiel einer stetig veränderlichen Größe (die in ihrem Verlauf keine Lücken lässt und keine Sprünge macht): Wechselt sie an zwei Stellen a und b ihr Vorzeichen, so muss sie an einer Stelle zwischen a und b Null werden. Diese findet man durch wiederholtes Halbieren des Intervalls [a,b]. Man wählt dazu einfach immer eine Hälfte aus, in der das Vorzeichen wechselt. Der Abstand der betreffenden Intervall-Enden wird durchs Halbieren beliebig klein, und irgendwann ist der Intervallmittelpunkt eine hinreichend genaue Näherung der gesuchten Nullstelle.

Manchmal gehen Halbieren und Verdoppeln sozusagen Hand in Hand, wie in dem Verfahren, das als "russische Bauernregel" oder "ägyptische Multiplikation" bekannt geworden ist. Die nachfolgende Tabelle demonstriert, wie damit das Produkt aus 19 und 13 zu berechnen ist. Man beachte die letzte Spalte, in der eine 1 erscheint, wenn der zweite Faktor ungerade ist. Das Ergebnis entsteht in Spalte eins durch Addition der Zahlen, bei denen in Spalte drei eine 1 steht.

Seit geraumer Zeit üben sich auch Politiker in der Kunst des Halbierens, bisweilen sogar unfreiwillig. Auf dem Höhepunkt der Vertrauenskrise um den bayerischen Ministerpräsidenten Stoiber versprach dieser seinen erschrockenen Parteifreunden, er "mache keine halben Sachen", und verkündigte eine von ihm angestrebte Regierungsdauer doppelter Länge bis 2013 — mit dem Effekt, dass sich seine Verweildauer in der Staatskanzlei letztlich halbieren dürfte.

Gut gemeint, aber realitätsfremd sind die alle Jahre wiederkehrenden Prophezeihungen, man werde in dem und dem Zeitraum die Zahl der Erwerbslosen halbieren (zuletzt bezog man dies vorsichtiger nur noch auf arbeitslose Jugendliche unter 25 Jahren). Dem steht freilich nicht nur die Tatsache entgegen, dass niemand so genau weiß, ob die betreffende Anzahl wirklich durch 2 teilbar ist. Trotz ihrer statistischen Natur sind wirklich zuverlässig (aber eben meist auch deutlich zu lang) lediglich die Halbwertszeiten von radioaktivem Restmüll.

Meines Wissens gibt es in der jüngsten Vergangenheit aber immerhin eine politische Halbierungsmaßnahme, die als hundertprozentig gelungen gelten kann: die Einführung des Euro im Jahr 2000. Sie war der Preis dafür, dass ein geteiltes Land sich ein Jahrzehnt zuvor hatte wieder vereinen können, zugleich aber eine Maßnahme, die Vermögen seiner Bürger mittelfristig zu halbieren. So haben alle etwas davon.