Straßburger Münster
Grundriss des Turmhelms, 1400
E0012000-8 © 2001 Alfred Schreiber Updated: 2001-08-18
Vortrag im Kolloquium Kulturwissenschaften an der Universität Flensburg am 12. Januar 2000
Vor gut zwanzig Jahren brachte Lynn A. Steen unter dem Titel Mathematics Today einen Band mit Artikeln heraus, die dem gebildeten Laien so untechnisch wie möglich erklären sollten, wo die Mathematik zur Zeit des damaligen Heute stand. Einer der Beiträge des Sammelbandes, verfasst von Allen Hammond – einem mathematisch kundigen, jedoch nicht in der Mathematik arbeitenden Autor –, trägt den schönen Titel: Mathematics - Our Invisible Culture. In seiner Einleitung denkt Hammond darüber nach, weshalb es so schwierig ist, die Mathematik einem größeren Publikum zugänglich und in ihrer Bedeutung als kulturelle Leistung verständlich zu machen. Er weist dazu unter anderem auf folgende Diskrepanzen hin:
Als Wissenschaft erlebt die Mathematik derzeit eine Hochblüte. Die breite Masse einschließlich der Gebildeten merkt davon aber praktisch nichts. Die Berufszunft pflegt zurückhaltend, ja "unscheinbar" aufzutreten. Tagespresse und Medien zeigen sich im Prinzip wohlwollend, gemessen an dem tatsächlich zugestandenen Raum aber eher reserviert. ("Wer hat schon einmal einen Mathematiker im Fernsehen gesehen?")
Faktisch sind unser Alltag, die technisierte Umwelt, die soziale Lebenswelt und – auch wenn Nicht-Eingeweihte dies kaum vermuten – die kulturelle Entwicklung von mathematischen Ideen in hohem Maße (mit)geprägt. Dem "normalen" Menschen erscheint Mathematik dennoch entlegen und isoliert; der Abstand zwischen den einfachen Anfängen und der begrifflich ausgearbeiteten Wissenschaft ist für ihn enorm und als Kulturideal spielt sie für ihn keine Rolle.
Hammond, der daran glaubt, dass Mathematik einen Teil der allgemeinen Kultur ausmacht oder ausmachen sollte, rettet diese Position durch den Zusatz, es handele sich dann eben um eine unsichtbare Subkultur. Ich will gleich hinzufügen, dass ich diese Auffassung teile, mehr noch: ich schicke mich an, sie in einer bestimmten Hinsicht ernster zu nehmen als Hammond.
Im weiteren Verlauf seines Artikels stellt Hammond drei Mathematiker vor, mit denen er in gemeinsamer Runde über ihre Arbeit gesprochen hat. Indem die Gespräche wiedergegeben und in ihren Sachhintergründen erläutert werden, erhält man einen gewissen (indirekten) Eindruck von der Anstrengung, vom Wagnis und von der Gefühlsbeladenheit mathematischen Tuns, der geistigen Bedeutung, der Schönheit mathematischer Resultate – und damit von Qualitäten, die dieser Wissenschaft üblicherweise nicht zugetraut oder zugeschrieben werden. Auf solche Art versucht Hammond der von ihm konstatierten Unsichtbarkeit der Mathematik innerhalb der allgemeinen Kultur entgegenzuarbeiten und sie, zumindest teilweise oder tendenziell, aufzuheben.
Diesen Weg werde ich hier nicht einschlagen – womit ich nicht bestreite, dass er auf ein sinnvolles Ziel ausgerichtet ist, vor allem aus einem pädagogischen Blickwinkel heraus betrachtet. Stattdessen möchte ich mich mit der Unsichtbarkeit selbst näher auseinandersetzen. Je länger ich mich mit den Wechselbeziehungen von Mathematik und Kultur beschäftige, desto mehr gelange ich zu der Überzeugung, dass deren Facetten sich zu einem nicht unerheblichen Teil in Begriffen von Unsichtbarkeit erfassen lassen.
Der Plan meines nun folgenden Gedankengangs ist somit dieser:
Im Teil "Mathematik und Kultur" verweise ich auf eine (mehr oder weniger willkürlich ausgewählte) Reihe von Beiträgen, die den Beziehungen zwischen Mathematik und Kultur gewidmet sind. Dies geschieht in äußerst knapper Form und damit zwangsläufig ohne den – vermutlich ohnehin zum Scheitern verurteilten – Versuch, vorab zu erklären, was unter Mathematik und was unter Kultur zu verstehen sei. Vor allen Dingen soll deutlich werden, dass es überhaupt relevante Bemühungen auf diesem etwas stiefmütterlich behandelten Sektor der Kulturgeschichte gibt.
Den Hauptteil bilden Betrachtungen zu vier verschiedenen Spielarten der Unsichtbarkeit. Es sind die nach meiner Beobachtung häufigsten und im Hinblick auf die Interaktion zwischen Mathematik und Kultur bedeutsamsten Weisen der Unsichtbarkeit von Mathematik.
Bei meinen Nachforschungen hat sich mir immer wieder die Frage aufgedrängt, die hier nicht vertieft werden soll: Wo muss man eigentlich stehen, um zu erkennen, dass andere etwas nicht sehen?
Fragen wir uns zunächst: Hat Mathematik überhaupt etwas mit Kultur zu tun?
Wohlwollende Menschen werden diese – zugegebenermaßen provozierend naiv klingende – Frage möglicherweise bejahen, und ich werde hier nichts unternehmen, das diese Auffassung untergraben könnte. Auch darin zeigt sich eine Diskrepanz im Verhältnis von Mathematik und Kultur: In sonntäglicher Rede wird man der Mathematik gerne Respekt zollen und sie als zwei- bis dreitausend Jahre alte und – im günstigsten Fall – auch in der Gegenwart anhaltend fruchtbare Kulturleistung würdigen. Geht es dabei jedoch um das, was man tatsächlich als kulturell bedeutsam anzuerkennen bereit (oder in der Lage) ist, so ist es gewöhnlich nur die Minimalausstattung mit sogenannten Kulturtechniken, die man sich beim Verlassen der Schule im Mathematikunterricht angeeignet haben soll – zugespitzt gesagt: überwiegend Fertigkeiten in der Arithmetik (Rechnen), und neuerdings auch der Umgang mit kleinen Haushaltscomputern.
Der Philosoph Arthur Schopenhauer hatte für die Mathematik nichts als Verachtung übrig. Er glaubte – durchaus zutreffend –, das Rechnen könne grundsätzlich auch von Maschinen übernommen werden; für ihn war daher die Mathematik die "niedrigste aller Geistestätigkeiten". Natürlich beruht dieses verheerende Urteil auf einer – durchaus nicht zutreffenden – Gleichsetzung von Mathematik und Rechnen. Es mutet wie eine Ironie an, dass diese unzulässige und in ihrem Kern unklare Identifizierung auch heute noch weit verbreitet ist. Beispielsweise werden das Verständnis räumlicher Strukturen (und damit die Entwicklung geometrischer Fähigkeiten) oder das logische Schließen – wenigstens in der Tendenz – nicht als Kulturtechnik eingestuft. Auch im schulischen Sachrechnen herrschten lange Zeit Routinen und kalkülhafte Aspekte vor (und tun dies häufig immer noch).
Wer die Mathematik, die wir in unsere Lehrpläne schreiben, auf rechnerische Routinen reduziert, bringt sie damit praktisch zum Verschwinden. Denn warum sollten wir etwas lernen, das eine Maschine so viel besser kann? – noch dazu in einem Ausmaß, das man sich zu Zeiten Schopenhauers kaum ausgemalt haben dürfte.
Was anderes also hat uns die Mathematik zu bieten? Was an ihr ist 'Kulturgut', und was gehört eventuell zu einer wie auch immer verstandenen Allgemeinbildung? Man wird erwarten, dass sich die Fachdidaktik für den pädagogischen Aspekt dieser Frage zuständig fühlt (vgl. die durch Heymann 1996 ausgelöste öffentliche Debatte). Es ist aber auch möglich, sich dem Thema von einer allgemeineren philosophischen, geistes- oder kulturwissenschaftlichen Betrachtungsweise her zu nähern. Dass man dies hin und wieder versucht hat, mag die folgende ganz unsystematische Auswahl von Ansätzen belegen, Mathematik im kulturellen Kontext und umgekehrt Kultur in ihrem Mitgeprägtsein durch mathematisches Denken darzustellen.
Eine knappe chronologische Skizze mag dazu genügen:
Whiteheads berühmte Lowell Lectures von 1925
Die Untersuchungen des italienischen Mathematikers Enriques 1938
Max Benses zweibändiger Essay: Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik
Morris Kline: schildert in einem 1953 erschienenen Buch die Rolle der Mathematik in der westlichen Zivilisation
Karl Menningers zweibändiges Werk "Zahlwort und Ziffer" (1959, danach weitere Auflagen) : liefert eine Kulturgeschichte der Zahl (auch außereuropäischer Kulturkreise)
Raymond Wilder: Beschreibung des Zusammenhangs von Mathematik und Kultur (nach dem Vorbild amerikanischer Kulturanthropologie); seit 1960
Die Mathematiker Philip Davis und Reuben Hersh veröffentlichten in den 80er Jahren "Erfahrung Mathematik" und "Descartes Traum"
Heinrich Winter 1991: schildert "Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht" vor ideengeschichtlichem Hintergrund, ein in der Fachdidaktik ungewöhnlicher (keineswegs eingängiger) Ansatz
Weitere kulturwissenschaftlich oder soziologisch geprägte Beiträge: Maor 1987; Bishop 1988; Lave 1988; Krishnamurthy 1990; Revisto 1992; Tiwari 1992; Heintz 2000.
Bei der Beschäftigung mit der Rolle der Mathematik in kultur- und geistesgeschichtlichen Zusammenhängen fällt auf, dass ihr Adjektive wie "geheim", "verborgen" oder "unbewusst" merkwürdig oft beigelegt werden. Zum Beispiel meint Max Bense von der Mathematik, sie sei "die große geheime Ideologie" – was man durchaus wörtlich, nämlich als Lehre von den Ideen auslegen darf. Den Hintergrund dazu finden wir in der Philosophie Platons.
Mathematik leitet sich ab vom altgriechischen mathémata (= "Kenntnisse, lernbares Wissen"; vgl. dazu das niederländische Wort wiskunde für Mathematik, in dem die indogermanische Wurzel vi für "wissen – sehen – erkennen" noch steckt; altindisch veda = "ich weiß"). Nach Platon ist dieses Wissen zunächst verborgen; doch kann es jedem Menschen mit ein wenig Hilfe (Mäeutik, Hebammenkunst) bewusst gemacht werden. Berühmt ist der Dialog Menon, in dem Sokrates mit einem Sklaven über die Frage der Verdopplung des Quadrats spricht. Dort wird suggeriert, der Sklave gelange schließlich durch eine Art von Erinnerung (Anamnesis) zur gewünschten Erkenntnis. Nach Platon wird uns so die Tür zu einer Welt reiner Gedankendinge hinter den wechselnden Erscheinungen geöffnet; Erkenntnis bedeutet Teilhabe an jener Welt der Ideen.
Dies ist der 'ideologische' Höhepunkt einer ersten Hauptepoche, die mit der pythagoräischen Lehre vom Aufbau des Kosmos aus einfachen Zahlenverhältnissen begonnen hatte. Die damals entstandene Mathematik gewann starken Einfluss auf das gesamte Denken: als eine – die einzige (!) – beweisende Wissenschaft. Beweisen meint das schlüssige Aufzeigen der Sachverhalte, die sich hinter der Welt der sinnlichen Wahrnehmung verbergen. (Die Methoden solcher Beweise bleiben natürlich noch eine – auch für die damalige Zeit – wichtige Frage.)
Betrachtet man die geschichtliche Entwicklung der Mathematik, so fällt es schwer, den pythagoräisch-platonischen Vorstellungen von einer statischen Ideenwelt zu folgen. Alles spricht dafür spricht, auch der menschlichen Erfindungsgabe eine bedeutende Rolle zuzugestehen. Zu dieser gehört unter anderem ein (eingeborenes?) Gefühl für Form, wie es z.B. Karl Menninger in seinem schönen Essay über "Mathematik und Kunst" unterstellt hat – und übrigens vornehmlich (sich selbst als 'unmathematisch' einschätzenden) Frauen zuschreibt. Menninger spricht in dem Zusammenhang von einer "Urmathematik", die von der Schul- und Hochschulmathematik zu unterscheiden sei: einer intuitiven Erkenntnis reiner Gestalten, die meistens, d.h. von mathematisch nicht geschulten Menschen, unbewusst gehandhabt wird.
Beispiele solcher Urmathematik sind Versmaße und Strophenformen in der Poesie, Maßwerk in der Architektur, vielfältige Arten von Symmetrie in den Werken der Musik und der bildenden Kunst:
Straßburger Münster
Grundriss des Turmhelms, 1400
Von Leibniz stammt der Satz: Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi. [Musik ist eine arithmetische Tätigkeit des Geistes, dem verborgen bleibt, dass er dabei in Zahlen denkt.]
Charles Bouleau hat den Versuch gemacht, die "geheime Geometrie der Maler" in seinem gleichnamigen Buch zu enthüllen. Aber wir brauchen gar nicht erst Werke der hohen Kunst, um zu dieser Einsicht zu gelangen. Es genügt ein Blick auf Phänomene des Alltags, z.B. die Anordnung der Dinge auf einer liebevoll gedeckten Kaffeetafel. Mit dem Gefühl für Symmetrie (Ebenmaß, Ausgleich, Wiederholung im Rapport ornamentaler Formen) befinden wir uns gleichsam im Zentrum einer mathematischen Leitidee.
Ein anderes, verwandtes Beispiel hat zu tun mit dem instinktiven Bedürfnis nach Vervollständigung bzw. dem Zusammenfügen passender Teile zu einem Ganzen. Es zeigt den Versuche eines fünfjährigen Kindes, mit bunten Papierschnitzeln ein Mosaik (ein Bild in Patchwork-Manier) herzustellen.
Schnitzelmosaik, Alicia (5 Jahre)
In ausgearbeiteter Form führen solche Tätigkeiten zur Parkettierung (überlappungsfreien Füllung) von Ebene und Raum – und damit zu einer Vielzahl interessanter mathematischer Probleme und Einsichten.
Zu Beginn der neuzeitlichen Wissenschaft wird die verborgene Mathematik in die Natur projiziert. Galilei drückt dies so aus: "Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren".
Wer aber hört, liest und versteht diese Sprache? – Es ist Aufgabe der Naturwissenschaft, die Ordnung der Schöpfung als deren implizite Struktur zu entdecken und explizit zu machen – dies jedoch nicht durch intellektuelle Anschauung reiner Ideen, sondern durch begrifflich geleitete Beobachtung, genauer: theoriegeleitetes Experiment.
Dieses Paradigma bildet im späten 17. Jahrhundert den Hintergrund für eine zweite Hauptepoche der Mathematik. Mit den Ideen von Newton und Leibniz entstand die Analysis und der Begriff der Funktion. Damit ließ sich die Realität als Prozess begreifen. Dieser unterliegt Naturgesetzen, die vorschreiben, wie sich bestimmte Größen in Abhängigkeit von anderen Größen ändern. Auf solche Weise wurde die Vorstellung von der Beherrschbarkeit der Natur verstärkt (erst recht, wenn die meist lokalen Gesetze sich zu einer 'geschlossenen' Form integrieren lassen).
Man staunt, dass Mathematik und Wirklichkeit oft so gut auf- oder zueinander passen. Gibt es vielleicht eine in der Realität verborgene prästabilierte Mathematik? Nach Kants "kopernikanischer Wende" in der Philosophie scheint das nurmehr ein Problem zu sein, welches Konstitutionstheorien der Erkenntnis zu erklären haben: nämlich als Selbsterkenntnis des objektive Wirklichkeit begreifenden Geistes.
Das Verschwinden, d.h. die Form der Unsichtbarkeit, von der ich hier reden möchte, ist die von Dingen in einem sogenannten Schwarzen Kasten ("Black Box"). Ein gewisser Teil der expliziten (nicht mehr verborgenen) Mathematik verschwindet auf diese Weise in einer Art Verpackung und kann so – scheinbar paradox – weit verbreitet, ja geradezu ubiquitär werden.
Um welche Mathematik handelt es sich dabei? Und was bedeutet dieses Verschwinden für die Allgemeinheit, für die Gesellschaft?
Viele Probleme, mit denen Mathematiker sich beschäftigen, bestehen darin, sich der Existenz bestimmter Objekte zu versichern: einer Zahl, einer Figur, einer Struktur, einer Antwort auf eine Entscheidungsfrage, u.a.m. Die beste Lösung solcher Aufgaben ist die, ein effektives Verfahren zu finden, mit dem sich quasi mechanisch das betreffende Objekt finden (berechnen, konstruieren usw.) lässt. Ein solches Verfahren nennt man Algorithmus. Ist ein Problem in diesem Sinne algorithmisch gelöst, so kann man es - zugespitzt gesagt - als 'trivialisiert' zu den Akten legen. (Wir wollen hier einmal von der dann immer noch interessant bleibenden Frage absehen, ob und wie sich ein bestimmter Algorithmus noch verbessern lässt.)
Einige einfache, der Schulmathematik entnommene Beispiele:
Besonders gut illustriert das dritte Beispiel den Charakter und die Bedeutung verschwundener Mathematik. Zu einer sogenannten Kulturtechnik konnten die hier in Frage stehenden Rechenverfahren nämlich erst werden, nachdem zum einen eine so ingeniöse Darstellungsform für Zahlen gefunden war wie das Stellenwertsystem (zur Basis 10), und zum andern die wichtigsten Operationen darin so einfach realisiert werden konnten, dass schon Kinder sie auszuführen in der Lage sind. Raymond Wilder hat dazu bemerkt, das Dezimalsystem werde so unbewusst gehandhabt wie man die Luft atmet. Gerade das macht es zur Kulturtechnik.
Die algorithmische Mathematik hat den Charakter einer Technologie. Ihre Resultate werden in physikalischen Funktionseinheiten (Chips, Computer, usw.) implementiert oder als Verfahrensroutinen verinnerlicht und damit automatisiert ausführbar. Eine Person kann - ja, soll - einen antrainierten Algorithmus erfolgreich ausführen, ohne allzuviel (im günstigsten Fall sogar ohne irgendetwas) von der zu Grunde liegenden Mathematik verstehen zu müssen. Deshalb kann diese auch verschwinden. Sie macht sich - sozusagen durch ihre eigenen Erfolge - entbehrlich. Man kann dies kaum prägnanter ausdrücken als durch folgenden Satz:
"The ultimate goal of mathematics is to eliminate all need for intelligent thought."
[Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Concrete Mathematics. Addison-Wesley Publishing Co.: Reading, MA 1989, p. 56] (Sicherheitshalber sei angemerkt: Problemlösen, Begriffs- und Theoriebildung sowie Anwenden mathematischer Konzepte sind selbstredend keine automatisierbaren Routinen.)
Aus dem technologischen Blickwinkel sind Mathematiker so etwas wie 'Ingenieure des reinen Geistes', deren Fertigprodukte von der Allgemeinheit konsumiert werden. Wir schalten das Fernsehgerät ein, fotografieren mit vollautomatischen Kameras oder setzen uns ins Flugzeug, ohne auch nur im Traum einen Gedanken an die enorme Menge mathematischer (und natürlich auch naturwissenschaftlicher) Grundlagen zu verschwenden, die in diesen Systemen stecken.
Die Durchdringung der uns umgebenden Wirklichkeit mit technologischer Mathematik hat in den letzten 50 Jahren in einem Ausmaß zugenommen, das bei einigen Beobachtern Besorgnis erregt und zu ernster Kritik Anlass gegeben hat. Davis und Hersh beschreiben verschiedene Facetten dieses Prozesses in ihrem Buch Descartes Traum. Es geht darin um die Vision - man ist versucht zu sagen: den Wahn -, immer mehr Bereiche des menschlichen Lebens durch Algorithmen beherrschen zu können oder zu wollen - was am Ende eher einem Alptraum gleicht.
Gewiss stehen wir mit diesem Thema bereits bei einigen der Ursachen dafür, dass Mathematik in einer kritischen Öffentlichkeit als eine überwiegend techniklastige Disziplin wahrgenommen wird, von der Impulse im geistig-kulturellen Raum kaum zu erwarten sind. Diese Meinung ist zwar nicht unmotiviert entstanden, sie ist aber nichtsdestoweniger falsch. Ob sie sich ausräumen oder zumindest differenzieren lässt, indem man den einen oder anderen Schwarzen Kasten öffnet? Zum Beispiel ist es grundsätzlich sinnvoll, die hinter den Grundrechenarten stehenden Algorithmen zu durchschauen. Aber wie weit kann man hier gehen? Besteht nicht die Gefahr, mit einem solchen pädagogischen Manöver die Kritik eher zu bestärken?
Keinesfalls durchweg überzeugend – jedenfalls im Hinblick auf das Ziel, ein Gegenbild der Mathematik aufzuzeigen – erscheinen mir viele der bisherigen Versuche, die Mathematik zu popularisieren. Die zahlreichen Rätsel- und Knobelbücher, darunter einige Bravourstücke der Unterhaltungsmathematik (z.B. von Martin Gardner), haben gewiss ihre Verdienste. Ein Nachteil ist, dass sie vorwiegend wieder nur von Mathematikern oder solchen Personen geschätzt werden, die mathematischen Aktivitäten ohnehin gerne nachgehen. Ein gewisser Mangel an konzeptueller Tiefe und an Beziehungen zu relevanten außermathematischen Dingen kommt hinzu.
Was also könnte einem breiteren, sich selbst als gebildet einschätzenden Publikum jene Seiten der Mathematik erschließen und näherbringen, die sie mit der allgemeinen Kultur verbindet? Ein Patentrezept kenne ich nicht. Ich kann mir aber vorstellen, dass kulturhistorische Darstellungen wie die von Morris Kline, eine grundlagenkritische Einführung in das mathematische Denken wie die von Friedrich Waismann oder ein Nachweis von Mathematik in deiner Welt, wie er Karl Menninger gelungen ist, ihren Beitrag dazu leisten können. In ihrem in den 80er Jahren zum internationalen Beststeller avancierten Buch Erfahrung Mathematik versuchen Davis und Hersh solche (und andere) Sichtweisen zu einer Gesamtschau und Allgemeinreflektion über Mathematik zu verbinden.
Einen Brückenschlag hinüber zu den Geistes- und Kulturwissenschaften müsste man in meinen Augen auf interdisziplinärem Boden vorbereiten bzw. realisieren. Folgende Bereiche (unter anderen) kämen dafür in Frage:
Werfen wir einen kurzen Blick in das bewundernswürdige Werk Alfred North Whiteheads über die Rolle der Wissenschaft in der modernen Welt. Das zweite Kapitel ist der "Mathematik als Element in der Geschichte des Denkens" gewidmet. Whitehead charakterisiert darin die zwei Hauptepochen, die für die Entwicklung und den Einfluss der Mathematik von entscheidender Bedeutung waren: einmal die Zeitspanne zwischen Pythagoras und Platon, in der Mathematik als beweisende Wissenschaft erstmals entsteht; und dann, im Abstand von fast zweitausend Jahren, der mit dem späten 17. Jahrhundert einsetzende Entwicklungsschub, bei dem – vor allem durch die Ideen von Newton und Leibniz – die Mathematik ihre neuzeitliche Gestalt und damit eine ungeahnte Entfaltungsdynamik erlangte.
In beiden Epochen, die etwa zweihundert Jahre dauern, finden wir eine starke "unmittelbare Einwirkung der Mathematik auf das allgemeine Denken der Zeit", während sonst dieser Einfluß gemindert ist oder mehr indirekt wirkt, etwa vermittelt durch Wissenschaften und Technologien, welche die Mathematik anwenden, wie dies im 19. Jahrhundert der Fall war.
Das eigene, komplizierter erscheinende Zeitalter mag Whitehead "nicht mit einer einfachen Formel deuten". Dennoch versucht er aufzuzeigen, dass und wie "die Mathematik gegenwärtig an allgemeiner Bedeutung zunimmt". Er wählt dazu das (in den 20-er Jahren aktuelle) Beispiel der Quantentheorie. Bestimmte diskontinuierliche Verhaltensweisen von Elementarteilchen werden dort durch ein schwingendes System erklärt. Für Whitehead zeigt sich darin "die Bedeutung der abstrakten Idee der Periodizität"; schon die pythagoräische Musiklehre enthielt sie im Keim, und die mathematische Theorie der Schwingungserscheinungen, die im 18. Jahrhundert ausgearbeitet wurde, brachte sie zur Reife.
Heute steht die Mathematik, über nationale Grenzen hinweg, in höchster Blüte; Keith Devlin spricht gar von einem "Neuen Goldenen Zeitalter". Weltweit gibt es mehr Mathematiker als je zuvor, darunter eine ungewöhnliche Zahl von Forschern ersten Ranges. Von ihrer Arbeit dringt normalerweise kaum etwas an die Öffentlichkeit, die sich doch im allgemeinen durchaus an den Errungenschaften von Wissenschaft und Technik interessiert zeigt. Gelegentliche, nicht selten trübe Infiltrationen aus dem Modegebiet der Fraktale, zumal in ihrer Vermarktung als 'Philosophie von Chaos und Ordnung', sind schwerlich dazu geeignet, diese Lage zum Besseren zu wenden.
Aus der Gesellschaft und der Kultur, mit der jene sich umgibt, bleibt die Mathematik weitgehend ausgesperrt.
Zunächst einmal schneidet die Zunft der Mathematiker nicht sonderlich gut ab. Laut Spiegel-Magazin (35/1998) genießen ihre Angehörigen "gemeinhin nur den Ruf trotteliger Geistesriesen ..., die ihr Genie an unnütze Hirngespinste verschwenden".
C. F. Gauß, Fürst der Mathematiker,
hier auf einer Banknote, die bald verschwunden sein wird
Welcher Durchschnittbürger kennt zumindest den einen oder anderen der ganz großen Mathematiker (Archimedes, Euler, Gauß), von den Größen des gerade vergangenen Jahrhunderts erst gar nicht zu reden? Die meisten Menschen scheinen nicht nur keine Mathematiker (außer vielleicht dem Namen nach Pythagoras) zu kennen; sie vermögen auch nicht zu erkennen oder gar einzuschätzen, worin deren Berufstätigkeit besteht.
In der Schule scheint das Fach zu polarisieren: Wem "Mathe" liegt, der favorisiert es; umgekehrt steht es bei den anderen an der Spitze der verhassten Fächer. Mathematik ist hin und wieder anstrengend, und mathematische Defizite sind nicht leicht zu kompensieren oder zu verstecken; das Fach eignet sich also zur Selektion, und das ist verdächtig genug.
Was wundert es, dass selbst bei wohlmeinenden Zeitgenossen die Mathematik außer Respekt nur geringe Akzeptanz erfährt? Mancher glaubt – aus der eigenen, vielleicht leidgeprüften Schulerfahrung? – wissen zu können, dass Mathematik weltfern ist, blutleer und kalt (weil abstrakt und theoretisch), trocken, erlebnisarm, sozial isolierend, unkreativ, aus all diesen Gründen daher auch nichts für Frauen, und ähnliches mehr.
Weniger Wohlwollende stellen sophistische Fallen auf und kritisieren die Mathematik: sie sei ein "Luftschloß aus Formeln" und für die dort turnenden Geistesakrobaten "erst so richtig schön, wenn sie völlig nutzlos ist" (vgl. Spiegel a.a.O.). Wird sie dann aber einmal praktischen Anwendungen zugeführt, gerät sie leicht in den Verdacht der Komplizenschaft mit Interessenvertretern des Kapitalismus, Atombombenkonstrukteuren, Umweltzerstörern und den verachteten Protagonisten jener "sozialen Tyrannei der Zahlen", von der Davis und Hersh in "Descartes Traum" so beredt zu erzählen wissen.
Diejenigen, die sich gern auf Autoritäten berufen, können auf eine beachtliche Ansammlung herabsetzender, ja teilweise vernichtender Aussprüche historischer Persönlichkeiten zurückgreifen. Zu diesen gehören bereits Heraklit, die römischen Juristen und Kirchenvater Augustinus, später dann so manche Mystiker, Romantiker, Kulturphilosophen und Schriftsteller. Bedächtig Abschätziges stammt von Goethe, doch so richtig schwer scheint die Kritik zu wiegen, die Georg Christoph Lichtenberg – immerhin ein Physiker – in seinen berühmten Sudelbüchern den Mathematikern ins Heft schrieb: Unter ihnen fänden sich "die größten Plunderköpfe ..., untauglich zu irgendeinem Geschäft, das Nachdenken erfordert".
Der geballten Wucht der Antimathematica – Max Bense sieht in ihnen "... eines der erstaunlichsten Phänomene der Geistesgeschichte" – steht aber auch ein Pro entgegen: nicht nur von Philosophen wie Platon oder Leibniz, die sozusagen von Berufs wegen schon auf mathematischem Boden stehen – auch von bildenden Künstlern (Leonardo, Dürer, und als nur ein modernes Beispiel: Max Bill) und literarischen Autoren (Novalis, Musil, in unserer Zeit: Enzensberger). Besondere Erwähnung verdient das Beispiel Raymond Queneaus, denn außer mit bloßem Bekennen steht dieser Autor auch mit dem Inhalt seines Schaffens dafür ein, dass die Mathematik "als Struktur des Geistes selbst" anzusehen ist (vgl. Schreiber 1994).
Natürlich sind solche Kronzeugen willkommen. Kaum einer, der sich mit Mathematik beschäftigt, findet sich gerne mit ihrer Außenseiterrolle, dem Ausgesperrtsein – z.B. auch von der Vergabe eines Nobelpreises – und dem faktisch negativen Image in der Gesellschaft ab. Im Jahr 2000, das von der Internationalen Mathematischen Union (IMU) und der UNESCO zum Weltjahr der Mathematik erklärt wurde, soll der Öffentlichkeit mehr von der Mathematik und ihren "Geheimnissen" nahegebracht werden. Gibt man sich ein wenig der Hoffnung hin, es möge vielleicht einmal wieder – wie zeitweilig im Frankreich des 17./18. Jahrhunderts – zum guten Ton gehören, in mathematisch-naturwissenschaftlichen Dingen mitreden zu können?
Das Gegenteil ist heute der Fall. Da gilt es durchaus als schick und kann ohne Beschädigung des eigenen Ansehens geschehen, mit seiner völligen Ignoranz auf mathematischem Gebiet zu kokettieren. Mehr noch, 'outet' man sich gar als mathematisch unbegabt, so hat man im Handumdrehen eine Mehrheit auf seiner Seite. Der populistische Effekt macht die Sache auch für die öffentlich auftretende Prominenz interessant. Würde man etwa auf dem Gebiet der Musik, üblicherweise zu den 'Herzensdingen' gerechnet, allenfalls zugeben, dass man ein Instrument nicht oder nicht gut spielt, so doch wohl kaum, dass man kein Ohr für die Musik hat, die andere machen ...? Umgekehrt läuft für die Mathematik das auch öffentlich gerne verbreitete Bekenntnis, man könne sie nicht, kenne sie nicht und habe sie im wirklichen Leben bisher auch nicht gebraucht, auf die Botschaft hinaus, dass sie – bis auf die durch Schulunterricht zu sichernden Kulturtechniken natürlich – unwichtig und ohne Bedeutung ist. Glaubt man etwa, dieser stillschweigende Codex unter Erwachsenen bleibe den Heranwachsenden verborgen? In meinen Augen liefert er nicht eben den geeigneten Hintergrund, vor dem die zahlreichen anderslautenden bildungspolitischen und pädagogischen Präambeln zur Rolle der Mathematik in der künftigen sogenannten Informationsgesellschaft als glaubwürdig erscheinen.
Mit dieser Kritik plädiere ich nicht dafür, die Mathematik dem allgemeinen Publikum ständig popularisierend aufzudrängen und mit pädagogischem Liebeswerben schmackhaft machen zu wollen. Es ist völlig normal, dass sich nicht alle Menschen – im Endeffekt sogar nur wenige – für dieses Gebiet aktiv interessieren können. Daran wird auch eine 'Erlebnis-Mathematik' nicht viel ändern. Allerdings sollten wir uns fragen: Wieweit nutzt eigentlich die Schule ihre Chance, möglichst vielen jungen Menschen die Bedeutung der Mathematik in Kultur und Gesellschaft zu erschließen?
Beim Nachdenken darüber und über die darin enthaltene Frage nach dem Stellenwert der Mathematik wird naturgemäß immer wieder deren Nutzenaspekt auftauchen. Ohne diesen in Zweifel ziehen zu wollen, hat Whitehead in seinen Lowell-Lectures zu einer geistesgeschichtlichen Einschätzung angeregt, mit der sich dem Ausgesperrtsein der Mathematik vielleicht sogar ein gewisser Charme abgewinnen lässt.
"Ich will nicht soweit gehen, zu sagen, daß eine Geschichte des Denkens, die auf ein tiefes Studium der mathematischen Ideen in den verschiedenen Epochen verzichtet, etwas tut, das mit dem Streichen der Rolle Hamlets aus dem gleichnamigen Drama vergleichbar ist. Das wäre zu anspruchsvoll. Aber es entspricht gewiß dem Weglassen der Rolle Ophelias. Dieser Vergleich ist erstaunlich treffend. Denn Ophelia ist wesentlich für das Stück, sie ist entzückend – und ein wenig verrückt. Geben wir zu, daß das Streben der Mathematiker ein göttlicher Wahnsinn des menschlichen Geistes ist, eine Zuflucht gegenüber der bedrängenden Enge der dem Zufall ausgelieferten Ereignisse."
Die Anschauung als Anstoß und Quelle mathematischer Erkenntnis soll hier keineswegs heruntergespielt oder gar bestritten werden. Die Zeugnisse der Vergangenheit belegen ihre unentbehrliche Rolle deutlich genug. Dennoch betonen Köpfe, die es wissen müssen, immer wieder, dass Mathematik in ihrem Kern abstraktes Wissen ist. So meint wiederum Whitehead: "Das Wesentliche an der Mathematik ist, daß wir uns in ihr immer vom besonderen Beispiel und sogar von den einzelnen Arten von Dingen entledigt haben ..." (a.a.O.)
Nun heißt 'abstrakt sein' nicht von vornherein 'unanschaulich sein'. Es deutet zunächst darauf hin, dass dem Erkenntnisgegenstand etwas abgezogen wurde, was im allgemeinen darauf hinausläuft, ihm etwas – weniger, mehr, vielleicht auch alles - von seinem Anschauungsgehalt zu nehmen. Es bedeutet zumeist aber auch, dass etwas Neues hinzukommt: nämlich bestimmte Begriffe und die 'innere Logik' ihrer Gefüge. Abstraktion wird damit zu einem bedeutenden Instrument mathematischer Erkenntnis; gerade durch die in ihr vollzogene 'Distanzierung' entstehen vielfältig anwendbare Theorien.
Bevor wir uns einen Eindruck davon verschaffen, warum es eigentlich zur Abstraktion kommen muss(te), sollten wir uns vergegenwärtigen, dass heute weite Teile der Mathematik abstrakt vorliegen. Das Hineindenken in Abstraktionen verlangt eine gewisse Anstrengung und ist vermutlich einer der Hauptgründe dafür, dass die Mathematik vielen Menschen fremd, verschlossen und unverständlich bleibt.
Man kann allerdings Abstraktion unnötig erschweren, z.B. durch das Verschweigen ihrer anschaulichen Ursprünge oder durch übertriebenen Formalismus (was beides unter Mathematikern durchaus als schlechter Stil gilt). Man kann - umgekehrt - Abstraktes aber auch durch Anschauungsanalogien wieder zugänglicher machen. Nichtsdestoweniger lassen sich die Anforderungen an das Verständnis der Begrifflichkeit nicht wesentlich herabsetzen oder – im Sinne eines "Königsweges" – gar umgehen. Zu diesen Anforderungen gehören: logisches Denken, Begriffsvermögen und - sehr typisch für den Habitus von Mathematikern – das hartnäckige Streben nach Einfachheit und nach dem völligen Verstehen einer Sache.
Fragen wir uns nun, warum die Abstraktion überhaupt als notwendiger Zug im mathematischen Denken auftaucht.
Auf der untersten Entwicklungsstufe ist Anschauung vorwiegend bestimmt durch visuelle Wahrnehmung. Auf diese Weise können mathematische Erkenntnisse durchaus angeregt und auch gewonnen werden. Man kann sich ihrer aber kaum anders als in Evidenzerfahrungen vergewissern. Im Ergebnis erhält man so keine intersubjektiv festlegbaren Erkenntnisse, und nicht selten bleiben sogar Zweifel bestehen. Den Denkern im alten Griechenland war dies schmerzlich bewusst; man darf – dem Mathematikhistoriker A. Szabó folgend – sogar annehmen, dass gerade die Unsicherheiten und Aporien der wahrnehmungsverhafteten Anschauung maßgeblicher Anlass waren, Erkenntnisse soweit wie möglich diskursiv und begrifflich-logisch zu sichern. Die Idee des Beweises (im heutigen Sinne) hat dort ihren Ursprung.
Betrachten wir einige Beispiele aus der Anfangszeit, d.h. der ersten Epoche der Mathematik.
a) Entdeckung der logischen Form (und damit der formalen Logik, die später in der Mathematischen Logik aufgeht): In seinen "Analytiken" untersucht Aristoteles Schlüsse in der Gestalt sogenannter Syllogismen, z.B.
Alle A sind B
Alle B sind C
Alle A sind C
Um diesen (oder andere) Syllogismen zu verstehen, greift man häufig zu einer Visualisierung der Begriffsumfänge (auch bekannt als Venn-Diagramme nach dem englischen Logiker John Venn, 1834-1923). Das typische Beweisbild zu (*) pflegt so auszusehen:
Diese Veranschaulichung ist legitim: Sie bildet den wesentlichen Sonderfall ab, in dem die Prämissen des Schlusses abgetrennt werden können. Der Fall lässt sich etwa durch folgende Instanziierung unterlegen:
Wenn alle Hunde Säugetiere sind (was wahr ist) und alle Säugetiere Lebewesen (was wahr ist), dann sind alle Hunde Lebewesen.
Allerdings ist die Veranschaulichung weder ein echtes Beweismittel noch stellt sie die Allgemeinheit des Syllogismus tatsächlich dar. Schließlich deckt der allgemeine Schluss auch Fälle ab wie diesen:
Wenn alle Vögel Säugetiere sind und alle Säugetiere Lebewesen, dann sind alle Vögel Lebewesen.
Das zugehörige Diagramm sieht dann so aus:
In diesem Fall ist der Vordersatz "Alle Vögel sind Säugetiere" nicht abtrennbar (da faktisch unwahr). Natürlich 'muss' der Syllogismus auch hier wie in den übrigen Fällen gelten, und er gilt zum Beispiel auch dann, wenn die Begriffsumfänge zueinander disjunkt liegen:
Nebenbei sei hier angemerkt, dass Beweisbilder dieser Art das Verständnis abstrakter Beziehungen nur bedingt – nämlich am Anfang – fördern. Wenn es nicht gelingt, sich von den Besonderheiten der Visualisierungen zu lösen – und eben das heißt ja Abstraktion –, besteht die Gefahr, damit die Wirksamkeit und Anwendbarkeit der allgemeinen Begriffe zu stören oder sogar zu behindern.
b) Die thaletische Geometrie: Sie war noch nicht deduktiv, ihre Erkenntnisse entsprangen aber Evidenzen, die an einfachen 'allgemeinen' Figuren wie der folgenden gewonnen wurden:
Man kann sich die Figur dadurch entstanden denken, dass zwei beliebige Durchmesser konstruiert werden, deren Schnittpunkte mit dem Kreis A, C bzw. B, D sind. Auf diese Weise entstehen allerlei Symmetrien, die sich durch einfache Beobachtungen erschließen: Die Strecken AB und CD, AD und BC sind gleich(lang) (Symmetrie des Kreises); ebenso die Strecken AM, BM, CM, DM (als Radien). Die Dreiecke DAM und BCM sowie ABM und CDM sind (deckungs)gleich. ABCD ist ein Rechteck (Satz des Thales). Die Dreiecke ACD und CAB sind gleich.
Die im letzten Satz ausgedrückte Erkenntnis soll hier einmal etwas näher betrachtet werden. – In moderner Abbildungssprache ausgedrückt bringt eine Halbdrehung um M die beiden Dreiecke zur Deckung. Wenn man will, kann man diese einfache Einsicht auf einer visuell-materiellen Stufe nachvollziehen, etwa indem man ein Rechteck aus Papier entlang einer Diagonalen mit der Schere durchschneidet und die beiden Teildreiecke übereinanderlegt. Soweit ist alles in Ordnung. Allerdings nur, solange man nicht genau danach fragt, was diese 'konkret-anschauliche' Variante eigentlich besagt. Haben wir denn tatsächlich durch einen Schnitt entlang der Diagonalen ein Rechteck in zwei kongruente Teile zerlegt?
Bei der Beantwortung dieser Frage kommt es ganz darauf an, wie wir diesen "Schnitt" und ferner die Deckungsgleichheit hier verstehen wollen. Sicherlich können wir die Frage bejahen, wenn wir "Schnitt" so interpretieren wie eben in der ursprünglichen Thales-Figur geschehen (nämlich als Symmetrieachse des Kreises und als gemeinsame Dreiecksseite). Die Variante "zum Anfassen" bringt aber einen weiteren und neuen Aspekt hervor: zwei getrennt bewegliche Flächenstücke, die sich zur Deckung bringen lassen.
In der Thales-Figur war hiervon keine Rede: Keines der Dreiecke wird im Raum (oder in der Ebene) bewegt. Wer soll es bewegen? Und um welche Bewegung soll es sich handeln? – Auch liegen die beiden Dreiecke keineswegs als Flächenstücke oder als papierdicke Körper materialisiert übereinander; vielmehr verharren sie als Teile eines statischen Ganzen und stehen lediglich in einer über die Symmetrie in der Gesamtfigur ausgedrückten Beziehung zueinander.
Haben wir also eine – gegenüber der thaletischen Erkenntnis – neue Entdeckung gemacht oder gar einen besonders einfachen "Papier-und-Schere-Beweis" gefunden? – Mitnichten. Die von der konkret-anschaulichen Variante suggerierte Evidenz, ein Rechteck zerfalle durch einen diagonalen Schnitt in zwei kongruente Teile, hält einer begrifflichen Analyse nicht einmal stand. Ich will dies soweit darlegen, dass die Gründe hierfür deutlich werden.
Die Bewegung, der ein Dreieck (oder irgendeine Figur) unterworfen wird, muss in dem Sinne starr sein, dass alle Teile (bzw. Punkte) der Figur ihre relative Lage – d.h. ihre Abstände zueinander - nicht verändern. In der Endlage (Deckung) liegen dann entsprechende Punkte übereinander. Anschaulich ist diese punktweise Entsprechung etwa mit Hilfe einer Nadel, die beide Papierdreiecke durchsticht, demonstrierbar.
Kann es hier Probleme geben? In der Praxis wohl nicht, d.h. solange wir mit unseren Papierfiguren hantieren. In der Theorie jedoch, d.h. in der Betrachtung der reinen, gedanklichen Formen, treffen wir auf eine Schwierigkeit: Was ist mit dem Teil der Figur, entlang der wir den Schnitt getätigt haben? Gehört diese gemeinsame Hypotenuse zum Dreieck ACD, so fehlt sie dem – dann 'offenen' – Dreieck CAB (dem damit auch die Ecken A und C abhanden gekommen wären). Demgegenüber kann in der Papierwelt ein 'streckendicker' Überstand an einer Figur natürlich nicht entdeckt werden.
Aber vielleicht lässt sich das Aufteilungsproblem so lösen, dass die Halbdiagonale AM zu dem einen, das übrig bleibende Stück MC zum anderen Dreieck hinzugenommen wird. In der Tat entsprechen sich diese beiden Hälften in der endgültigen Passlage: Der Punkt C liegt auf A – aber welcher Punkt des Dreiecks CAB liegt auf M (wenn wir annehmen, dass die ganze Strecke AM zu Dreieck ACD gehört)? Es könnte nur der Punkt M selbst sein, der jedoch nicht zum Dreieck CAB gehört.
Ausgerechnet am (nicht weiter aufteilbaren) Symmetriezentrum der Thales-Figur scheitert also der Versuch, die konkret-anschauliche Demonstration der Zerlegung eines Rechtecks in zwei deckungsgleiche Teile gedanklich-begrifflich nachzuvollziehen. In dieser Form ist sie denn auch unmöglich.
[ Es fehlt der ursprünglich für c) geplante Teil: infinitesimale Paradoxien (Zenon, Hausdorff) ]
Appelbaum, Peter M.: Popular culture, educational discourse, and mathematics. State University of New York Press: Albany 1995
Bense, Max: Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. Bde I u. II. Claassen & Goverts: Hamburg 1946-1949
Bishop, Alan J. (ed.): Mathematics education and culture. Kluwer: Dordrecht 1988
Bochner, Salomon: Mathematics in Cultural History. In: Dictionary of the History of Ideas. Charles Scribner's Sons: New York 1973
Bouleau, Charles: The Painter's Secret Geometry. A Study of Composition in Art. Hacker Art Books: New York 1980
Cantor, Moritz: Mathematische Beiträge zum Kulturleben der Völker. Halle 1863
Davis, Philip J; Hersh, Reuben: Erfahrung Mathematik. Birkhäuser Verlag: Basel; Boston; Berlin 19861, 1994
Davis, Philip J.; Hersh, Reuben: Descartes' Traum. Über die Mathematisierung von Zeit und Raum. Fischer Taschenbuch: Frankfurt am Main 1990
Devlin, Keith: Mathematics: The New Golden Age. Penguin Books 1988
Enriques, Federico: Le mathematiche nella storia e nella cultura. Bologna 1938
Guderian, Dietmar: Mathematik in der Kunst der letzten dreißig Jahre. Bannstein-Verlag: Ebringen i. Br. 1990
Hammond, Allen L.: Mathematics - Our Invisible Culture. In: Lynn A. Steen (ed.): Mathematics Today. Springer: New York; Heidelberg; Berlin 1978
Heintz, Bettina: Die Innenwelt der Mathematik. Zur Kultur und Praxis einer beweisenden Disziplin. Springer: Wien; New York 2000
Heymann, Hans-Werner: Allgemeinbildung und Mathematik. Beltz: Weinheim; Basel 1996
Kline, Morris: Mathematics in Western Culture. Oxford University Press 1953; reprinted 1979
Krishnamurthy, Visvanatha: Culture, excitement, and relevance of mathematics. Wiley Eastern: New Delhi u.a. 1990
Lave, Jean: Cognition in practice: Mind, mathematics and culture in everyday life. Cambridge Univ. Press: Cambridge 1988
Maor, Eli: To infinity and beyond: a cultural history of the infinite. Birkhäuser: Boston 1987
Menninger, Karl: Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl. Vandenhoeck & Ruprecht: Göttingen 1. Aufl. 1959, 3. Aufl. 1979
Menninger, Karl: Mathematik in deiner Welt. Vandenhoeck & Ruprecht: Göttingen 1958
Menninger, Karl: Mathematik und Kunst.Vandenhoeck & Ruprecht: Göttingen 1959
Revisto, Sal: Mathematics in society and history: sociological inquiries. Kluwer: Dordrecht 1992
Schimmel, Annemarie: The Mystery of Numbers. Oxford University Press: New York; Oxford 1993 (deutsch F. C. Endres; A. Schimmel: Das Mysterium der Zahl. Zahlensymbolik im Kulturvergleich. Diederichs: München 1984; Sonderausg. 1995)
Schreiber, Alfred: Queneau, Mathematik und "Potentielle Literatur". In: mathematica didactica 17/2 (1994), 72-92
DER SPIEGEL: Nobelpreis für Quatsch. Heft 35/1998, 104-105
Tetens, Holm: Die Grenze. Naturwissenschaft lässt sich mit Bildern popularisieren, aber nur mit Mathematik verstehen. DIE ZEIT Nr. 37 (9. September 1999)
Tiwari, Sarju: Mathematics in history, culture, philosophy, and science. Mittal Publ.: New Delhi 1992
Volkert, Klaus Th.: Die Krise der Anschauung. Eine Studie zu formalen und heuristischen Verfahren in der Mathematik seit 1850. Vandenhoeck & Ruprecht: Göttingen 1986
Waismann, Friedrich: Einführung in das mathematische Denken. Gerold & Co.: Wien 1936, und dtv: München 1970
Whitehead, Alfred N.: Wissenschaft und moderne Welt. Morgarten Verlag, Conzett & Huber: Zürich 1949 (Originaltitel: Science and the Modern World. Macmillan: New York 1925)
Wilder, Raymond L.: Mathematics: A Cultural Phenomenon. In: G. E. Dole and R. L. Carneiro (eds.): Essays in the Science of Culture. T. Y. Crowell: New York 1960
Wilder, Raymond L.: Evolution of Mathematical Concepts. John Wiley: New York; London; Sydney; Toronto 1968
Wilder, Raymond L.: Mathematics as a Cultural System. Pergamon Press 1981
Winter, Heinrich: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Einblicke in die Ideengeschichte und ihre Bedeutung für die Pädagogik. 2., verbesserte Auflage, Vieweg: Braunschweig; Wiesbaden 1991