Alfred Schreiber
Ringvorlesung am 17. Januar 2002
Universität Flensburg
In der Philosophie kümmern sich vor allem Erkenntnistheorie und Naturphilosophie um diese alte und schwierige Frage. Die Erkenntnistheorie fragt nach der Möglichkeit und der Beschaffenheit von Vorstellungen, die auf etwas verweisen, das in der (naiven) Meinung des Vorstellenden unabhängig von ihm ("an sich") besteht. Die Naturphilosophie (und später die Naturwissenschaft) fragt nach den Eigenschaften und Gesetzen, die in dieser als "objektiv" vorgestellten Welt gelten, und danach, wie solche Gesetzlichkeit möglich ist
Die Welt, von der hier die Rede ist, scheint uns (ohne unser Zutun) als Wirklichkeit gegeben zu sein. Darüberhinaus gibt es "Welten", die vom Menschen gemacht wurden. In seinen Tagebüchern spricht Leonardo da Vinci über die Erkennbarkeit des Gegebenen und des Gemachten. Dem nach Erkenntnis Strebenden rät er zur Bescheidenheit:
O speculatore delle cose, non ti laldare di conoscere le cose che ordinariamente per se medesima la natura conduce. Ma rallegrati di conoscere il fine di quelle cose che son disegnate dalla mente tua.
(O du Erforscher der Dinge, rühme dich nicht, die Dinge zu kennen, welche die Natur für gewöhnlich durch sich selbst vollbringt. Freue dich dagegen, den Zweck jener Dinge zu kennen, die von deinem eigenen Geist entworfen sind.)
Woody Allen sagt das noch kürzer:
Können wir das Universum wirklich "kennen"? Mein Gott, es ist doch schon schwierig genug, sich in Chinatown zurechtzufinden.
Die Frage nach dem Inhalt der mathematischen Erkenntnis ist aus verschiedenen Gründen schwierig. Allein zwei Besonderheiten, welche die Mathematik mit keiner anderen Wissenschaft zu teilen scheint, mögen das verdeutlichen:
Sind nun die Dinge, über welche die Mathematik redet, jene cose che son disegnate dalla mente tua, von denen Leonardo spricht? Dies wäre im übrigen schon eine ziemlich moderne Auffassung. Den Gegenpol dazu bildet die Ansicht, nach der auch die Dinge der Mathematik zu einer objektiven Sphäre gehören: unabhängig von den Menschen, die sich mit ihnen beschäftigen.
Betrachtungen über die mathematische Erkenntnis haben (ganz anders als diese selbst) nicht zu eindeutigen und stabilen Ergebnissen geführt. Mathematiker und Philosophen haben eine Vielzahl von Auffassungen entwickelt.
Manche dieser Auffassungen haben über die philosophische Deutung hinaus eigene Beiträge zur Mathematik geleistet (so der Logizismus, Formalismus, Intuitionismus und Konstruktivismus).
Die im Folgenden erzählte Geschichte soll Nicht-Mathematikern die Rolle von Konstruktivität und Konstruktivismus in der Mathematik verständlich machen. Der Weg beginnt im Platonischen Ideen-Himmel und führt stufenweise (über einen Zeitraum von zwei Jahrtausenden) auf ein Plateau hinunter, das sich durch die Bezeichnung "Formalismus" und eine Art Wirklichkeitsverlust kennzeichnen lässt. David Hilbert nannte es "Cantors Paradies", aus dem er sich nicht von Intuitionisten (und kritischen Konstruktivisten) vertreiben lassen wolle. Diese von Brouwer angeführte "Gegenmoderne" (nach H. Mehrtens: Moderne - Sprache - Mathematik. Frankfurt/M. 1990) will den mathematischen Gegenständen (Zahl, Kontinuum) wieder zu ihrem Recht, d.h. zu einer gewissen anschaulichen Essenz verhelfen. Die Gegenwehr — für Hilbert nichts als ein "Putschversuch" — hat letztlich keinen nachhaltigen Erfolg, und nach einer Übergangszeit (Bourbakis Strukturalismus) landen wir schließlich auf einer instrumentalistisch-pragmatischen Ebene, genauer: in den postmodernen Werkstätten allseitig einsetzbarer Modellschreiner.
Das Thema "Konstruktivismus" ist — jedenfalls soweit es Mathematik betrifft — weitaus älter als die naturalistische (biologistische) Neuauflage der Transzendentalphilosophie durch Maturana und Varela (und alles, was sich danach als Konstruktivismus in den Geistes- und Sozialwissenschaften etabliert hat).
Der Begriff "Enttäuschung" hat gewöhnlich eine negative Bedeutung, und das gilt auch hier für die Entwicklungsgeschichte der mathematischen Erkenntnis. Man hat — das werden einige Beispiele zeigen — am Ende etwas anderes erreicht als man ursprünglich wollte. Gleichzeitig liegt darin die Stärke und der einzigartige Erfolg der Mathematik begründet, denn Ent-täuschung (mit Bindestrich geschrieben) heißt ja auch: Befreiung von täuschenden, irreführenden Bestandteilen.
Überhaupt ist dies ein wesentlicher Zug mathematischer Erkenntnisfixierung: Man beseitigt solange Falsches, Unsicheres, Undeutliches und Vages, bis alle (am Erkenntnisprozess und seiner Kommunikation) Beteiligten das Ergebnis annehmen können.
Die Geometrie des Thales war noch nicht deduktiv. Ihre Erkenntnisse entspringen naiver, aber schon "gereinigter" anschaulicher Evidenz. Als Beispiel diene diese klassische Figur:
Die Figur entsteht, wenn wir zwei beliebige Geraden durch den Mittelpunkt eines Kreises legen. Durch ihre Schnittpunkte mit dem Kreis entstehen allerlei Teilfiguren:
Um einzusehen, dass an den Ecken auf dem Kreis rechte Winkel entstehen, genügt allerdings auch hier nicht die bloße Beobachtung.
(Zum einen benötigt man Definitionen, z.B. die des rechten Winkels, etwa als eines halben gestreckten Winkels. Zum anderen kommt die Symmetrie der Figur ins Spiel. Ihr lässt sich "entnehmen", dass die beiden Teildreiecke des mutmaßlich rechtwinkligen Dreiecks gleichschenklig sind und "daher" jeweils gleiche Basiswinkel besitzen. Addiert man dann alle Winkel im "Thalesdreieck", so ergibt sich für den Winkel am Kreisrand: Winkelsumme im Dreieck abzüglich ein halber gestreckter Winkel. Offenbar wird dabei auch vorausgesetzt, dass alle Dreiecke die gleiche Winkelsumme besitzen. Erst wenn man weiß, dass die Winkelsumme im Dreieck einen gestreckten Winkel ausmacht, ist klar, dass das Thalesdreieck rechtwinklig ist.)
Dass wir uns auf die naive Beobachtung (sinnliche Wahrnehmung allein), nicht verlassen können, erfahren wir bei vielen, selbst alltäglichen Gelegenheiten, und bekannt war dies auch in den Anfängen der Wissenschaft bei den Griechen.
Die Gestalt- und Wahrnehmungspsychologie illustriert das Problem durch eine Vielzahl eindrucksvoller Täuschungsfiguren. Ein einfaches Beispiel ist das folgende Parallelogramm (nach Sander); es enthält zwei diagonale Strecken, die wir (bedingt durch die Umgebung) als verschieden lang wahrnehmen:
Zenon, wie Thales ein Vorsokratiker, ist über die Wahrnehmungskritik weit hinausgegangen. Seine subversive, ja destruktive Attacke will den Raum, das anschauliche Kontinuum, in dem wir uns bewegen und Bewegungen anderer Körper wahrnehmen, hinsichtlich seines Realitätsgehalts ein für allemal verdächtig machen. Zenon lockt mit seinen berühmten Paradoxien das auf Anschauungskategorien gestützte Denken in eine irritierende Aporie.
Scharfsinnig ist sein keineswegs leicht aus dem Weg zu räumendes Paradoxon von der Unmöglichkeit der Bewegung. Danach kann ein Stein nicht zu Boden fallen, ja nicht einmal seine Fallbewegung beginnen, weil er immer schon zuvor den Mittelpunkt der als nächstes zu durchlaufenden Fallstrecke erreichen müsste.
Wenn wir dem Mathematikhistoriker A. Szabó folgen, so muss in Zenons Anschauungskritik einer der Katalysatoren gesehen werden, der den Prozess weg vom anschaulich-empirischen Erkennen (dem die thaletische Geometrie noch verhaftet war) hin zum diskursiven und dann deduktiv begründenden Denken (Argumentieren und Beweisen) maßgeblich angetrieben hat.
Die mathematische Begriffsbildung hat immer wieder, nämlich systembedingt, mit so genannten Monstern zu tun. Das sind Sachverhalte, die man eigentlich nicht unter einen Begriff oder einen allgemeinen Satz fassen möchte, die aber ungewollt als "pathologische" Grenz- und Sonderfälle auftauchen. Am Begriff der "stetigen Kurve" lässt sich dies eindrucksvoll erläutern. Der Begriff der Stetigkeit findet seit jeher eine intuitive Verwendung. Die Analysis (mathematische Untersuchung von Veränderungsprozessen, seit dem 17. Jh.) befasst sich naturgemäß mit vielerlei stetigen Veränderungen (das sind Verläufe: analytisch-algebraisch durch Funktionen, graphisch durch ebene Kurven dargestellt).
Hier ein einfaches Beispiel eines zeitlich stetigen Verlaufs: Geschwindigkeit eines (in einer Flüssigkeit unter dem Einfluss der Schwerkraft mit gleichmäßiger Beschleunigung) sinkenden Körpers
Eine solche "brave" (gutartige) Funktion mag zu der anfänglichen Vorstellung geführt haben, den Graphen einer stetigen Funktion könne man im Prinzip "in einem Zug" mit der Hand zeichnen: libero manu ductu heißt es bei Euler. In dem Moment jedoch, wo man beweisbare Einsichten über Stetigkeit benötigt, gibt eine solch anschaulich-deskriptive (und zudem auf außermathematische Konstruktionsmittel wie eine "Hand" zurückgreifende) Erläuterung nichts her.
Für die genaue Analyse — das ist typisch für die Mathematik — benötigt man eine Definition, die nur formale Sprachmittel verwendet. Das war in diesem Fall keineswegs naheliegend, man musste ja zunächst eine neue Idee von der Stetigkeit entwickeln, etwa die, dass der Funktionsverlauf ein bestimmtes vorgegebenes Wertintervall nicht verlässt, wenn man ihn in einem geeignet kleinen Zeitintervall untersucht, und das für alle Beobachtungszeitpunkte. (Cauchy hat schließlich im 19. Jh. daraus eine exakte Definition gewonnen.)
Nach der Ent-täuschung im positiven Sinn folgt nicht selten auch eine Enttäuschung im negativen Sinn, hier: das Auftauchen von Monstern, d.h. Beispielen, die unter die exakte Definition fallen, jedoch in anderen Hinsichten nicht mehr dem intuitiven Bild entsprechen, das man sich ursprünglich von der Sache gemacht hat.
Kann man sich beispielsweise vorstellen, dass eine stetige Kurve ein Quadrat vollständig ausfüllt? — Eigentlich nicht. Dennoch ist dies möglich, wie die von Hilbert erdachte (nach heutiger Sprechweise: fraktale) Kurve zeigt:
Die eigentliche "Kurve" entsteht als Grenzgebilde der hier gezeigten Mäander (aus Hilberts Originalarbeit von 1890). Nach einigen weiteren Iterationsschritten erhält man (etwas vergrößert) folgendes Bild:
Das Grenzgebilde sieht schließlich aus wie ein schwarzes Quadrat. Hier wird gleich mehrfach das Alltagsverständnis von "Kurve", "Stetigkeit" und "Dimension" herausgefordert!
Im Prinzip hatte schon Zenon mit seiner Fraktalisierung der Fallstrecke ein Monster geschaffen. Das ist unschwer zu sehen, wenn wir statt der dauerlosen Rast in der Streckenmitte die Strecke gleichmäßig dritteln und um das mittlere Drittel einen doppelt so großen Umweg machen. Für die 4 entstandenen Streckendrittel ist das nun ad infinitum zu wiederholen.
Die so entstehende (ebenfalls stetige) Grenzkurve (1906 von Helge v. Koch veröffentlicht) besitzt merkwürdige Eigenschaften: Sie besitzt in keinem Punkt eine Tangente. Sie hat unendliche Länge. Mehr noch, jeder noch so kleine Ausschnitt von ihr ist unendlich lang. Fraktalisiert man mit dieser Methode z.B. die Seiten eines Dreiecks, so entsteht eine geschlossene Kurve unendlicher Länge, die ein endliches Gebiet einschließt ("Schneeflockenkurve").
Auch scheinbar einfache Sachverhalte können bei genauer Betrachtung paradoxe Ergebnisse an den Tag bringen. Kehren wir noch einmal zurück zu unserer Thales-Figur:
und lenken das Augenmerk auf die beiden rechtwinkligen Dreiecke ACD und CAB. Diese sind gleich (kongruent). In moderner Abbildungssprache ausgedrückt bringt eine Halbdrehung um M die beiden Dreiecke zur Deckung.
Wenn man will, kann man diese einfache Einsicht auf einer visuell-materiellen Stufe nachvollziehen, etwa indem man ein Rechteck aus Papier entlang seiner Diagonalen mit der Schere durchschneidet und die beiden Teildreiecke übereinanderlegt. Soweit ist alles in Ordnung. Allerdings nur, solange man nicht genau danach fragt, was diese 'konkret-anschauliche' Variante eigentlich bedeutet. Haben wir denn tatsächlich durch einen Schnitt entlang der Diagonalen ein Rechteck in zwei kongruente Teile zerlegt? Bei der Beantwortung dieser Frage kommt es ganz darauf an, wie wir diesen "Schnitt" und ferner die Deckungsgleichheit verstehen wollen. Sicherlich können wir die Frage bejahen, wenn wir "Schnitt" so interpretieren wie in der ursprünglichen Thales-Figur geschehen (nämlich als Symmetrieachse des Kreises und als gemeinsame Dreiecksseite). Die Papier-und-Schere-Variante bringt aber einen weiteren und neuen Aspekt hervor: zwei getrennt bewegliche Flächenstücke, die sich zur Deckung bringen lassen. In der Thales-Figur war davon keine Rede: Keins ihrer Dreiecke wird im Raum (oder in der Ebene) bewegt. Wer soll es bewegen? Und um welche Bewegung soll es sich handeln? Auch liegen die beiden Dreiecke keineswegs als Flächenstücke oder als papierdicke Körper materialisiert übereinander; vielmehr verharren sie als Teile eines statischen Ganzen und stehen lediglich in einer über die Symmetrie in der Gesamtfigur ausgedrückten Beziehung zueinander. Haben wir also eine — gegenüber der thaletischen Erkenntnis — neue Entdeckung gemacht oder gar einen besonders einfachen Papier-und-Schere-Beweis gefunden? Mitnichten. Die von der konkret-anschaulichen Variante suggerierte Evidenz, ein Rechteck zerfalle durch einen diagonalen Schnitt in zwei kongruente Teile, hält einer begrifflichen Analyse nicht stand. Ich will dies soweit darlegen, dass die Gründe hierfür deutlich werden. Die Bewegung, der ein Dreieck (oder irgendeine Figur) unterworfen wird, muss in dem Sinne starr sein, dass alle Teile (bzw. Punkte) der Figur ihre relative Lage, d.h. ihre Abstände zueinander, nicht verändern; in der Endlage (Deckung) liegen dann entsprechende Punkte übereinander. Anschaulich ist diese punktweise Entsprechung etwa mit Hilfe einer Nadel, die beide Papierdreiecke durchsticht, demonstrierbar. In der Praxis ist das kein Problem, solange wir mit unseren Papierfiguren hantieren. In der Theorie jedoch, d.h. in der Betrachtung der reinen, gedanklichen Formen, treffen wir auf eine Schwierigkeit: Was ist mit dem Teil der Figur, entlang der wir den Schnitt getätigt haben? Gehört diese gemeinsame Hypotenuse zum Dreieck ACD, so fehlt sie dem — dann 'offenen' — Dreieck CAB (dem damit auch die Ecken A und C abhanden gekommen wären). Demgegenüber kann in der Papierwelt ein 'streckendicker' Überstand an einer Figur natürlich nicht entdeckt werden. Aber vielleicht lässt sich das Aufteilungsproblem so lösen, dass die Halbdiagonale AM zu dem einen, das übrig bleibende Stück MC zum anderen Dreieck hinzugenommen wird. In der Tat entsprechen sich diese beiden Hälften in der endgültigen Passlage: Der Punkt C liegt auf A — aber welcher Punkt des Dreiecks CAB liegt auf M (wenn wir annehmen, dass die ganze Strecke AM zu Dreieck ACD gehört)? Es könnte nur der Punkt M selbst sein, der jedoch nicht zum Dreieck CAB gehört. Ausgerechnet am (nicht weiter aufteilbaren) Symmetriezentrum der Thales-Figur scheitert also der Versuch, die scheinbar konkret-anschauliche Demonstration der Zerlegung eines Rechtecks in zwei deckungsgleiche Teile gedanklich-begrifflich nachzuvollziehen. In dieser Form ist sie denn auch unmöglich.
Die hier praktizierte Mengengeometrie, die Figuren als Mengen von Punkten auffasst, kennt noch ganz andere Paradoxa. Zum Beispiel kann danach eine (dreidimensionale) Vollkugel so in endlich viele Teile zerlegt werden, dass sich aus ihnen zwei Vollkugeln zusammensetzen lassen, die beide denselben Radius haben wie die Ausgangskugel (Banach-Tarski-Paradox).
In allen (ebenen) Dreiecken hat die Winkelsumme denselben konstanten Wert (180°). In der Schule zeigt man dies, indem man durch eine Ecke des Dreiecks eine (die einzige!) Parallele zur gegenüberliegenden Seite zieht und die so entstehenden Wechselwinkel betrachtet.
Und woher weiß man, dass es (in der Ebene) zu einer Geraden und einem beliebigen Punkt durch ihn genau eine parallele Gerade gibt? Dieses Parallelenaxiom (PA) hat Euklid vielleicht (ohne Erfolg) beweisen wollen; jedenfalls führt er es unter seinen Postulaten (für geometrische Konstruktionen) auf. Um es gleich — mit den Worten des Mathematikhistorikers Moritz Cantor — zu sagen: Zwei Jahrtausende und mehr haben an dieser zähen Speise gekaut.
Am Ende war klar: Das PA ist unabhängig von den übrigen Axiomen der Geometrie, was heißt: es kann grundsätzlich nicht aus ihnen abgeleitet werden. Zunächst entdeckten Anfang des 19. Jhs. unabhängig voneinander N. I. Lobatschewski und J. Bolyai, dass man ein geometrisches System aufbauen kann (eine absolute Geometrie, die alle Axiome außer dem PA erfüllt), in dem die fragliche Parallele nicht existiert. Später kamen dann Systeme hinzu, bei denen mehr als eine Parallele existiert. Diese sog. nicht-euklidischen Geometrien sind gedankliche Konstrukte. Sie wurden erst möglich, nachdem man so weit war, sich im geometrischen Denken nicht mehr auf den Raum der Erfahrungswelt oder einen vermeintlich objektiven Anschauungsraum zu beziehen.
Nicht-euklidische Systeme findet man durch Uminterpretation der geometrischen Grundbegriffe, z.B. auf der Kugel: Punkte sind auch dort Punkte, Geraden hingegen Großkreise (um das Kugelzentrum). Da zwei Großkreise sich immer (in antipodischen Punkten) schneiden, ist das PA verletzt. Natürlich muss noch nachgewiesen werden, dass im übrigen die absolute Geometrie gilt.
Als Folge dieser Denkweise verlieren die Grundbegriffe der Geometrie ihre frühere von vornherein festgelegte Bedeutung. Die Bedeutung kann ihnen nun im Prinzip frei zugewiesen werden. Wichtig ist der Zusatz "im Prinzip", denn diese Zuweisung ist keinesfalls völlig willkürlich; sie muss ja so erfolgen, dass alle Axiome der Geometrie (oder mutatis mutandis einer anderen Theorie) bis auf das PA oder ein anderes Axiom erfüllt sind.
Der nächste, radikalere Schritt besteht darin, die Grundbegriffe einer Theorie von jeglicher Bedeutungszuweisung (Interpretation) abzulösen. Ihren Sinn erhalten sie dann lediglich durch das, was man Gebrauchsverstehen nennen könnte. Euklid hatte noch zu erklären versucht, was ein Punkt, was eine Gerade eigentlich, d.h. ihrem Wesen nach sei: Ein Punkt ist, was keine Teile hat, und dgl. mehr. Nach zweitausend Jahren wird diese Form essentialistischer Axiomatik fallengelassen. Werden Sätze in der Mathematik bewiesen, dann muss man höchstens von der Tatsache (Annahme) Gebrauch machen, dass durch zwei Punkte genau eine Gerade verläuft oder dass es drei Punkte gibt, die nicht auf einer Geraden liegen, usw. Was man nicht wissen muss, ist, was ein Punkt ist oder gar wie Punkte, Geraden, Ebenen etc. aussehen!
In seinen Grundlagen der Geometrie (1899) beginnt Hilbert folgerichtig mit der Erklärung: "Wir denken uns drei verschiedene Systeme von Dingen: die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte und bezeichnen sie mit A, B, C,...; die Dinge des zweiten Systems nennen wir Geraden ... " usw. Im Wartesaal eines Berliner Bahnhofs soll Hilbert das so ausgedrückt haben: Man muß jederzeit an Stelle von 'Punkte, Geraden, Ebenen' 'Tische, Stühle, Bierseidel' sagen können (nach der Hilbert-Biografie von O. Blumenthal).
Für mathematische Objekte wird auf die Forderung verzichtet, sie müssten anschaubar sein. Mehr noch wird in mathematischen Aussagen die Seinsthese ausgeklammert, d.h. es wird nicht vorausgesetzt, dass es das, worüber Sätze ausgesagt und bewiesen werden, überhaupt gibt.
Die vorangegangenen Schilderungen, die sich mühelos um viele weitere Beispiele ergänzen ließen, illustrieren, wie sehr das mathematische Denken und Erkennen durch Abstraktion geprägt ist.
Dabei soll Anschauung als Anstoß und Leitfaden mathematischer Erkenntnis keineswegs heruntergespielt oder gar bestritten werden; die Zeugnisse der Vergangenheit belegen ihre unentbehrliche Rolle deutlich genug. Dennoch kann gar nicht genug betont werden, dass Mathematik in ihrem Kern abstraktes Wissen ist. So meint A. N. Whitehead: Das Wesentliche an der Mathematik ist, daß wir uns in ihr immer vom besonderen Beispiel und sogar von den einzelnen Arten von Dingen entledigt haben (Wissenschaft und moderne Welt, 1949). Abstraktion ist ein zentrales Instrument mathematischer Erkenntnis; gerade durch die in ihr vollzogene Distanzierung entstehen vielfältig anwendbare Theorien.
Die Abstraktion mag im Ergebnis das markanteste Merkmal im mathematischen Erkenntnisprozess sein; insgesamt weist er aber weitere Merkmale auf:
Hilbert hat die axiomatische Methode nicht erfunden, er hat sie aber (beginnend mit den Grundlagen der Geometrie) zu dem geschmeidigen und erfolgreichen Werkzeug gemacht, das sie bis heute (geblieben) ist.
Der Grundgedanke ist einfach, auch wenn er erst nach oft langen und mühevollen Vorarbeiten umsetzbar wird:
Grundbegriffe und Axiome haben nun jede Emphase verloren: In einem Grundbegriff zeigt sich nicht mehr das "Wesen" einer Sache, und Axiome müssen nicht mehr "evident" sein. Die einzige Forderung, die Hilbert an ein Axiomensystem richtet, ist die Widerspruchsfreiheit.
Die Geometrie ist eine axiomatische Theorie par excellence. Daran erinnert der alte Ausdruck more geometrico, der sich verallgemeinernd auf jedes axiomatische Vorgehen nach dem Vorbild der Geometrie bezieht. Eben dies wollte Hilbert: die axiomatische Methode auf alle Wissenbereiche, z.B. auch auf die Mechanik und andere Gebiete der Physik, anwenden (im Sinne einer "Tieferlegung der Fundamente").
Bis etwa zu den 1920er-Jahren gab es neben der Geometrie eine Reihe weiterer axiomatischer Ansätze in der Mathematik, z.B.
Man wundert sich zunächst darüber, dass es sinnvoll sein soll, die Arithmetik (Lehre von den Zahlen, insbesondere der natürlichen Zahlen 0,1,2,3,...) zu axiomatisieren. Sind die natürlichen Zahlen nicht das Einfachste und Klarste, was die Mathematik zu bieten hat? Dem Mathematiker L. Kronecker wird der Ausspruch zugeschrieben: Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
Tatsächlich stellt die Axiomatisierung der Arithmetik eine theoretisch interessante Aufgabe dar. Dies hängt mit dem sog. Induktionsprinzip zusammen (von der Schule her bekannt als Methode der "vollständigen Induktion"), das bei Aussagen verwendet wird, deren Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen bewiesen werden soll. Es stellt sich heraus, dass sich die Induktion nicht durch ein Axiom (nicht einmal durch endliche viele Axiome) symbolisieren lässt, es sei denn, man erlaubt in den Sprachmitteln den Bezug (nicht nur auf Zahlen, sondern — auf der sog. zweiten Stufe — auch) auf Eigenschaften bzw. Mengen von Zahlen. Das hätte dann sogar den Vorteil, dass das Axiomensystem seinen Erfüllungsbereich (= semantisches Modell) bis auf Isomorphie eindeutig festlegt. Der entscheidende Nachteil: Auf dieser zweiten Stufe steht kein effektiver, d.h. durch ein Regelsystem beschreibbarer Folgerungsbegriff zu Verfügung. So wie Hilbert sein formalistisches Programm verstanden haben wollte, ist diese Option unakzeptabel.
Auch die Mengenlehre wurde erst spät axiomatisiert. Wie bei der Arithmetik ist man genötigt ein unendliches Axiomensystem aufzustellen, d.h. endlich viele Axiome plus mindestens ein sog. Axiomenschema, in das beliebige einschlägige Formeln eingesetzt werden können. Die mathematische Grundlagenforschung, die sich mit diesen (und anderen) Fragen beschäftigt, hat der Mengenlehre eine ausgezeichnete Stellung eingeräumt. Der Grund dafür liegt in der Möglichkeit der Zurückführung von Theorien auf andere: Die Geometrie kann auf die Arithmetik zurückgeführt werden. Die Arithmetik (und die Analysis) kann auf die Mengenlehre zurückgeführt werden.
Lässt sich sagen, was eine Menge ist? Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre (in ihrer "naiven", nicht-axiomatisierten Gestalt), hatte anfänglich essentialistische Begriffsbestimmungen versucht (etwa der Art: eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten unseres Denkens zu einem Ganzen — was auch immer das hat heißen sollen). Doch aus späterer Zeit berichtet eine Anekdote von einer Unterhaltung zwischen Cantor und Dedekind, in der beide über ihr 'anschauliches' Verständnis von Mengen gesprochen haben. Dedekind meinte, er stelle sich eine Menge wie einen Sack mit Dingen darin vor. Daraufhin soll Cantor sich erhoben haben mit der pathetisch ausgebrachten Bemerkung, eine Menge sei für ihn ein Abgrund.
Vielleicht gilt ähnliches für die ganze Mathematik: Je mehr wir uns ihren Gründen nähern, desto mehr erweisen sich diese als wahre Abgründe.
Um nicht in die Abgründe der Mathematik schauen zu müssen, hatte Hilbert sich das folgende formalistische Rechtfertigungsprogramm überlegt:
Anmerkungen
Während sich Cantor im platonischen Himmel heimisch gefühlt haben
dürfte, ist "Cantors Paradies", das Hilbert so nennt, ein virtuelles
Gehege für die gesamte klassische Mathematik, in welchem die Seinsthese
ausklammert wird. Warum virtuell? Man hat es lediglich mit einem semiotischen
Abbild zu tun: Über die realen Zeichen kann man sich verständigen,
das Abgebildete jedoch, d.h. "die Mathematik", bleibt ideal und dem
gemeinschaftlichen Diskurs entzogen. Die Philosophie, überhaupt jede Form
von erkenntnistheoretischer Kritik an den Prinzipien der Mathematik, bleibt
außerhalb des Geheges. Die einzige Antithese, die Hilberts Formalismus
— gleichsam als Sündenfall in Cantors Paradies — ernst nimmt,
ist der logische Widerspruch, der sich auf der Zeichenebene nachbilden und erkennen
lässt. Was wäre eigentlich so schlimm, wenn ein Widerspruch ableitbar
wäre? Man könnte so argumentieren: Mit der Zeichenreihe ![[Graphics:Images/e0022002_gr_9.gif]](Images/e0022002_gr_9.gif){kind=small}
sind alle Formeln beweisbar, und damit würde die Analogie zu einer inhaltlichen
Theorie zerstört, in der man zwischen Wahr und Falsch unterscheiden
kann. Genauer: es gäbe dann nicht einmal die logische Möglichkeit
einer solchen Theorie. Das scheint für Hilbert schwerer zu wiegen als der
Mathematik ihre Inhaltlichkeit abzusprechen.
Vertreibung aus dem Paradies
Die berühmten Unvollständigkeitssätze, die Kurt Gödel
1931 bewies, bedeuteten zunächst einmal, dass Hilberts Programm in seiner
ursprünglichen Form nicht aufrechtzuerhalten war. Das zweite dieser Resultate
besagt nämlich: Die Widerspruchsfreiheit eines hinreichend ausdrucksstarken
Systems S (wie Arithmetik oder Mengenlehre) kann nicht mit den Mitteln
von S bewiesen werden. Eine Möglichkeit, dies etwa für die
Arithmetik (oder die Analysis) zu umgehen, besteht darin, die Widerspruchsfreiheit
in einer stärkeren Metatheorie nachzuweisen, die sich dennoch inhaltlich
rechtfertigen lässt (etwa aufgrund ihrer Konstruktivität, so 1936
geschehen durch G. Gentzen). Und schließlich: Abgesehen von der Frage,
ob ein Widerspruchsfreiheitsbeweis möglich ist, bleibt immer noch das Problem
seiner Sinnhaftigkeit: Was würde es am Ende bedeuten, wenn man ein
Axiomensystem als konsistent nachgewiesen hat? (vgl. dazu A. Schreiber: Theorie
und Rechtfertigung. Braunschweig 1975)
Der axiomatische Formalismus hat seine ganz spezifischen Monster: sogenannte Non-Standard-Theorien. Man darf sich das ungefähr folgernmaßen vorstellen: Mit einer formal-axiomatischen Theorie (wie der euklidischen Geometrie, Arithmetik oder Mengenlehre) sollen durch die Axiome die Grundbegriffe in ihrem wechselseitig verflochtenen Gebrauch so festgelegt werden, dass — abgesehen von Umbenennungen der zugehörigen Objekte — nur ein Erfüllungsbereich (semantisches Modell) möglich ist, in dem sämtliche Axiome (und damit auch alle logischen Folgerungen aus ihnen) gültig sind. Eine solche axiomatische Theorie heißt kategorisch.
Auch in dieser Hinsicht erleidet das formalistische Wissenschaftskonzept der Mathematik eine herbe Enttäuschung. Das hatte, schon in den 1920-er Jahren, der norwegische Grundlagenforscher Thoralf Skolem herausgearbeitet. Seine diesbezüglichen Resultate betreffen die Arithmetik und die Mengenlehre. Beide Theorien sind in ihren Formalisierungen erster Stufe nicht-kategorisch und erlauben die Erfüllung in Bereichen, deren Struktur und Eigenarten als Nicht-Standard (weil 'ursprünglich so nicht gemeint') gelten müssen.
Für die Arithmetik lässt sich zeigen, dass es einen Erfüllungsbereich N mit folgenden Eigenschaften gibt:
In der axiomatischen Mengenlehre scheint die Irritation noch größer
zu sein. Cantors "klassische" Theorie war ursprünglich angetreten,
unendliche "Mannigfaltigkeiten" zu erforschen und darzutun, in welch
bis dahin für nicht möglich gehaltener Differenzierung das Unendliche
sich entfaltet. Aus dem einfachen Zählprozess 0, 1, 2, 3, ... ist uns das
sog. abzählbar Unendliche vertraut (hier aktual, d.h. als abgeschlossene
Gesamtheit aufgefasst). Das Kontinuum, etwa in Gestalt einer aus Punkten zusammengesetzt
gedachten Strecke, ist hingegen nicht-abzählbar (überabzählbar).
Darüber hinaus potenzieren sich (im wahrsten Sinn des Wortes) diese sog.
Mächtigkeiten (als Folge von Alephs ![[Graphics:Images/e0022002_gr_10.gif]](Images/e0022002_gr_10.gif){kind=small}
geschrieben) dadurch, dass man von einer Menge zu der Menge ihrer Teilmengen
— der sog. Potenzmenge mit nachweislich höherer Mächtigkeit —übergeht.
Tatsächlich ist es (mit einigen Abstrichen zur Vermeidung von Widersprüchen)
möglich, den soweit skizzierten Bestand der Mengenlehre in eine axiomatische
Form zu gießen. Die dabei benutzte Formalsprache kommt mit abzählbar
vielen Symbolen aus. Skolem hat nun gezeigt, dass das Axiomensystem der Mengenlehre,
wenn es überhaupt erfüllbar ist, sogar einen abzählbaren Erfüllungsbereich
besitzt. Damit tritt eine merkwürdige und paradox anmutende Relativität
der mengentheoretischen Begriffe zutage. Zum einen wird innerhalb
der Theorie von überabzählbaren Mengen gesprochen; zum anderen entsprechen
den Elementen dieser überabzählbaren Mengen außerhalb,
d.h. im Erfüllungsbereich, Elemente einer (im Sinne der Modellebene) abzählbaren
Gesamtheit. Ein Begriff wie "Abzählbarkeit" kann demnach keine
absolute Bedeutung haben.
Während des gesamten 20. Jahrhunderts haben Mathematiker und Philosophen mehr oder weniger entschlossen versucht, der fortschreitenden tendenziellen Sinnentleerung der Mathematik, die ihr durch die formalistische Axiomatik und die mit ihr verbundene Distanzierung von einer wie auch immer beschaffenen Wirklichkeit drohte, Einhalt zu gebieten. Der Höhepunkt dieser Gegenwehr kann als eine konstruktivistische Doktrin angesehen werden, die über fünf oder sechs Dekaden die Erkenntnistheorie der Mathematik, aber auch die Mathematik selbst beeinflusst hat.
Die konstruktivistische Doktrin ist fundamentalistisch, d.h. sie geht davon aus, dass es Grundlagen der Mathematik gibt, die in bestimmter Weise zu sichern seien bzw. den Aufbau der Mathematik gewährleisten: als Ausgangspunkt bzw. Quelle mathematischer Erkenntnis. Sie ist aber auch essentialistisch, d.h. sie glaubt die als grundlegend erachteten Dinge und Sachverhalte in ihrem Wesenszusammenhang ausmachen zu können: im Feld einer unmittelbaren Anschauung oder eines Systems von Operationen oder Konstruktionen.
Der markanteste Beitrag dieser "Gegenmoderne" stammt von dem bedeutenden niederländischen Mathematiker (und Philosophen) Brouwer. Die Basis seiner intuitionistischen Mathematik hat er bereits in seiner Dissertation Over de grondslagen der wiskunde (1907) gelegt. Eine Philosophie, welche die Mathematik von außen betrachtet, kann es für Brouwer nicht geben. Vielmehr führt Brouwer die Revision der Grundlagen dahin, die Mathematik mit abgeänderten Regeln (zumeist Einschränkungen, von Hilbert "Verbotsdiktatur" genannt) neu aufzubauen. Begriffe wie "Kontinuum", "Funktion" und "Stetigkeit" haben in dieser intuitionistischen Mathematik eine völlig andere Bedeutung als in der klassischen Mathematik (Brouwer würde sagen, dass sie nun überhaupt erst eine Bedeutung haben). Zum Beispiel gilt in der intuitionistischen Funktionenlehre der folgende Satz, der jeden herkömmlich ausgebildeten Mathematiker in höchstes Erstaunen versetzt: Jede in einem abgeschlossenen Intervall überall definierte Funktion ist in diesem Intervall gleichmäßig stetig.
Es folgen einige stichwortartig formulierte Leitgedanken, die den Ansatz von Brouwers Intuitionismus in erster Näherung beschreiben sollen (für einen Überblick vgl. A. Heyting: Mathematische Grundlagenforschung, Intuitionismus, Beweistheorie. Springer-Verlag: Berlin 1934; eine gut lesbare Einführung liefert M. Dummett: Elements of Intuitionism. Clarendon Press: Oxford 1977):
Brouwer hat einen Großteil seines Lebenswerks dem Aufbau einer intuitionistischen Zahlenlehre sowie Mengenlehre (als Grundlage der Analysis) gewidmet. Bedingt durch den Leitgedanken 2 entwickelt der Intuitionismus auch eine abgewandelte Logik.
Dinglers philosophisches Interesse galt vor allem dem methodischen Aufbau der Naturwissenschaften durch Fundierung auf Handlungen (Operationen, Konstruktionen), welche die begrifflichen Schemata der Wissenschaft auf die Realität beziehen.
In zahlreichen Studien widmet sich Dingler dem Aufbau und der inhaltlichen Deutung der Geometrie. Sein 1933 erschienenes Werk Die Grundlagen der Geometrie spielt dabei schon im Titel auf die Hilbertsche Axiomatik an, der Dingler in seinem Verständnis von "Grundlagen" nicht folgt. Tatsächlich fasst Dingler die Geometrie und ihre Grundbegriffe nicht formal auf, sondern als einen apriorischen Teil der Physik. (Auch Kant hatte so etwas schon in seinen Metaphysischen Anfangsgründen der Naturwissenschaft versucht.)
Die Idee seines Vorgehens ist diese: Bestimmte Grundbegriffe wie Punkt, Gerade, Ebene sind als ideenhafte (normative) Ziele einzuführen, die technischen Operationen zugeordnet sind. Ebene Flächen denkt sich Dingler durch ein wechselseitiges Aneinanderschleifen dreier Platten realisiert (Dreiplattenverfahren). Schnittkanten ebener Flächen sind dann Realisate von Geraden und Schnittecken gerader Kanten Realisate von Punkten. Immerhin hat man damit eine Art Urzeugung von Formen, die sich als gegenständliches Substrat den Begriffen der Geometrie unterlegen lassen. Auch rechte Winkel und Parallelität (als die Eigenschaft eines Ebenenpaars, eine bestimmte Ebene im rechten Winkel zu schneiden) kann man auf diese Art gewinnen.
Dingler glaubte fest daran, die von ihm beschriebenen formerzeugenden Handlungen ("in den Fabriken") erzwängen die Geltung der euklidischen Geometrie im Realraum (und widerlegten damit insbesondere Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie). Er übersah dabei, dass seine Formen-Herstellung nur lokal, d.h. in kleinen Raumgebieten, stattfinden kann und damit über die geometrische Struktur des Universums noch nichts entschieden ist. Es ist selbstredend ausgeschlossen, eine Ebene oder Gerade als unendlich augedehntes Gebilde im Sinne der euklidischen Geometrie zu fertigen.
Nichtsdestoweniger ist der Ansatz interessant. Bis zu einem gewissen Grade mag er als Antwort gelten auf die Frage (der "prästabilierten Harmonie"), weshalb mathematische (geometrische) Begriffe und Theorien so gut auf die Wirklichkeit passen. Immerhin manipulieren wir über begriffliche Normung diese Wirklichkeit in gehörigem Maße. Ob dies allerdings soweit geht, dass wir der Natur ihre Gesetze vorschreiben können, bleibe einmal als zumindest fraglich dahingestellt.
Dinglers Methodologie, speziell die der Geometrie, wurde später von Lorenzen und seiner "Erlanger Schule" aufgegriffen und auf verschiedene Weise zu präzisieren versucht. (Für eine umfassende Kritik aller dieser Teilansätze vgl. man P. Bender/A. Schreiber: Operative Genese der Geometrie. Wien; Stuttgart 1985. Dort wird die operative Interpretation schließlich "nur" noch für didaktische Zwecke genutzt. Unlängst hat L. Amiras unter dem Titel Protogeometrica, Diss. Uni Konstanz 1998, eine detaillierte Untersuchung vorgelegt, welche die bisher vorgeschlagenen Versionen der "protophysikalischen Geometriebegründung" als unzulänglich erweist.)
Die Beiträge Lorenzens zum Konstruktivismus gelten daneben aber auch dem Aufbau der Logik, Arithmetik und Analysis. Hier steht das konstruktive Handeln in und mit Kalkülen im Vordergrund. In seiner Metamathematik (1962) sucht Lorenzen einen Standpunkt, der zwischen Formalismus ("Axiomatizismus") und Konstruktivismus vermittelt. In Differential und Integral (1965) geht es darum, die klassische Analysis als eine konstruktive Theorie aufzubauen. Der Ansatz der dialogischen Logik schließlich (z.B. in dem mit W. Kamlah gemeinsam verfassten Werk über Logische Propädeutik, 1967) hat mit seiner methodischen Einführung in das logische Sprechen und in die effektive Logik auch weitere philosophische Kreise erreicht.
Die logische Propädeutik heißt im Untertitel Vorschule des vernünftigen Redens und verweist damit auf etwas für die Erlanger Schule Typisches: den Anspruch, der Wissenschaft einen konstruktiv bzw. operativ geprägten Vorbereich zu sichern (womit an Dingler und Kant angeknüpft wird). Zu diesen Proto-Wissenschaften gehören z.B. Proto-Geometrie, Chronometrie und Hylometrie.
Die Aufsatzsammlung Methodisches Denken (1968) gibt dazu einen programmatischen Überblick, führt dann aber in den "Grundlagenstreit der Mathematiker" auch "moralische Argumentationen" ein. In der Forschung tätige Mathematiker, die mit voller Absicht oder nur aus "Gewohnheit" die klassischen Formalismen verwenden, die ein Konstruktivist als sinnlos ablehnen würde, werden eindringlich aufgefordert sich zu rechtfertigen. Vermeintliche Rechtfertigungsgründe der "Formalisten" — Lorenzen konzentriert sich auf "Gewohnheit", "Notwendigkeit", "Schönheit" und "Freude" — werden einer scharfen normativen Kritik unterzogen und zurückgewiesen. Gewohnheit gibt keinen "Rechtsgrund" her, sondern fusst nur auf der Macht des Faktischen. Notwendigkeit liegt nach Lorenzen auch nicht vor, weil seitens der Formalisten noch nicht dargelegt wurde, welche Formalismen (die etwa in der Physik Verwendung finden) unentbehrlich sind und nicht durch konstruktive Verfahren ersetzt werden könnten. Schönheit anzuführen verwischt die Grenze zwischen Wissenschaft und Kunst, ist subjektiv, Moden unterworfen und allenfalls als zusätzliche (nicht jedoch einzige) Rechtfertigung zu gebrauchen. Dass Mathematiker Freude an der klassischen Mathematik, mehr als an der konstruktivistischen, empfinden, rekurriert nur auf das Privatvergnügen einer Minderheit oder geht, bei Beanspruchung öffentlichen Interesses, an dem vorbei, was den meisten Menschen Freude bereitet. Lorenzen:
Wäre es im öffentlichen Interesse nicht besser, die Parfumherstellung zu fördern als die formalistische Mathematik, da doch viel mehr Leute Freude an schönen Gerüchen als an schönen Formalismen haben? (Methodisches Denken, S. 160)
Hat sich die konstruktivistische Doktrin in ihren diversen Ausprägungen durchgesetzt? Diese Frage kann man nur mit einem klaren Nein beantworten. Gleichwohl hat die Mathematik selbst und vor allem die mathematische Grundlagenforschung viele wertvolle Anregungen erhalten. So schmerzlich dies aus konstruktivistischer Sicht auch erscheinen mag: Es haben sich allenfalls solche Vorschläge und Verfahrensweisen nachhaltige Beachtung und Wirkungsräume verschaffen können, die sich auch in herkömmliche Mathematik haben umsetzen lassen. So wurde der Intuitionismus von der Fachwelt erst verstanden und wahrgenommen, nachdem Brouwers wichtigster Schüler A. Heyting die intuitionischen Ideen in eine formalisierte bzw. axiomatisierte Gestalt gebracht hatte. Es kommt hinzu, dass vielen Fachvertretern nur schwer zu vermitteln ist, weshalb sie ein Theorem, das sich "klassisch" einfach beweisen lässt, nun plötzlich durch komplizierte konstruktivistisch annehmbare Methoden sichern sollten. Auch wenn Hilberts Position erkenntnistheoretisch nicht sonderlich stringent ist und Mängel aufweist, so hat sie sich in der Praxis und in der Politik der Wissenschaft am Ende doch durchgesetzt. Hilbert und Brouwer, zu ihrer Zeit unerbittliche Kombattanten, stimmen darin überein, dass die Mathematik mit dem exakten Teil unseres Denken identisch ist. Die immer wieder zu erlebende Enttäuschung für alle, die sich der Mathematik von der philosophisch-erkenntnistheoretischen Warte aus nähern, ist am Ende das Erfordernis, ihre Ideen durch Exaktifizierung — und das heißt oft: Formalisierung — verständlich zu machen, wenn sie von der institutionalisierten Mathematik rezipiert und beachtet werden sollen.
Nicht wenige Ursachen für den Misserfolg der konstruktivistischen Doktrin sind allerdings hausgemacht. Zum einen war, besonders in den Anfängen, die Ausarbeitung der Grundgedanken nicht eben leicht verständlich. Die Explizierung in formalen Termini ist schließlich im Intuitionismus gelungen und Brouwers überragender Beitrag zu den Grundlagen der Mathematik weltweit anerkannt. Gleichwohl war und ist es eine ungünstige Ausgangslage, wenn einerseits beansprucht wird, man habe ein Mittel, die Mathematik als sinnhafte Rede (über etwas) zu rekonstruieren, ja überhaupt erst verstehbar zu machen, andererseits aber eben diese Rekonstruktion nicht in völliger Klarheit vollzogen wird und kompliziertere Gedankengänge erzwingt.
Die immanenten Defizite der Dinglerschen und dann der prototheoretischen Ansätze Lorenzens wurden von der Erlanger Schule jahrelang nicht thematisiert, nicht selten verschleiert oder gar durch eine nach außen getragene Apodiktizität auszugleichen versucht. Dies hat der Sache letztlich nicht genützt. Auch der hohe moralische Ton, in dem geradezu ein Verfügungsanspruch auf normative Rationalität anzuklingen schien, hat sich auf die Rezeption der Lorenzenschen Philosophie (die eine Reihe bemerkenswerter und interessanter Gedanken enthält) ungünstig ausgewirkt.
Brouwer und Dingler waren beide Einzelgänger, ja Sonderlinge. Eine "Schule" haben sie nicht bilden können oder wollen. Brouwer, der asketisch und zurückgezogen lebte, galt in seinem Auftreten als missionarisch und allzu selbstbewusst. Für ihn war Mathematik eine Geisteshaltung, in die man sich einzuleben hatte. Daran ist, wie jeder Kundige weiß, viel Wahres daran. Andererseits braucht die Mathematik aber auch den lebendigen Diskurs, der über Sprache und Begrifflichkeit vermittelt wird, und ist gerade in ihrer Praxis in hohem Maße geprägt durch die kritische Diskussion und Kommunikation des Erkannten.
Brouwer versteht Intuition nicht als sinnliche, sondern als eine von kontingenten Bestandteilen (etwa der Wahrnehmung) gereinigte Anschauung, darin der reinen Anschauung (von Zeit), die Kant in seiner Ästhetik namhaft gemacht hat, verwandt. Im Intuitionismus ist diese Anschauung allerdings eine Quelle unmittelbarer (begriffsloser) Erkenntnis, mithin etwas, das Kant als "intellektuelle" Anschauung abgelehnt hätte.
Sich auf die Anschauung als Erkenntnisquelle (!) zu berufen, bedeutet, dass ich ein singuläres intentionales Evidenzerlebnis eines anderen nachvollziehe (nachvollziehen muss, wenn ich die behauptete Erkenntnis mit ihm 'teilen' möchte). Das mag, bei moderatem Gebrauch, noch angehen und ist in einem gewissen Sinn sogar unvermeidlich. In gesteigerter Form wird die Berufung auf Anschauung aber leicht zur Sache von Visionären und Propheten, autoritären Wahrheitsverkündern und Hohepriestern. Kant hat so etwas vornehm "vornehme Philosophie" genannt. Dagegen stellt ein Beweis sich erst einmal der Überprüfung, der Kritik, dem öffentlichen Diskurs. Äußeres Anzeichen dafür ist allein schon seine sprachliche und begriffsgebundene Form. Ein Beweis ist demokratisch, indem er sich prinzipiell allen, die am Erkenntnisprozess beteiligt sein wollen, mitteilt; er löst für die Allgemeinheit das Recht ein auf Einsichtnahme und Einsicht, auf verstehenden Nachvollzug des Verstehbaren.
Natürlich trifft dieser Hinweis die intuitionistische oder konstruktivistische Mathematik keineswegs in dem Sinn, dass man dort etwa auf Beweise glaubt verzichten zu können. Im Gegenteil. Es geht ja um Axiome (und Grundbegriffe), deren Begründung (und Essentialität) gerade der Formalismus ausspart. In dieses Begründungsvakuum können fundamentalistische Auffassungen eingreifen. Die Frage ist, ob dies dogmatisch geschieht. Tatsächlich haben wir nicht nur eine, sondern eine Vielzahl konkurrierender Sichtweisen, die als solche unverbindlich bleiben. Die Unverbindlichkeit mag den überzeugten Intuitionisten und Konstruktivisten ärgern, doch ist sie unvermeidlich und in meinen Augen eine Stärke. Das 'Zwingende', die 'Härte' mathematischer Schlüsse und Theoreme werden auf diesem Feld eben nicht erreicht, sondern nur da, wo wir formalisieren und beweisen. Gibt es einen Grund, der es rechtfertigen würde, Andersmeinende, Skeptiker oder Agnostiker zu einer ganz bestimmten Auffassung zu zwingen?
Der inwendige und appellative Charakter der Anschauung macht sie darüberhinaus ambivalent, im Extremfall sogar anfällig für Missbrauch. Dies gilt besonders dann, wenn man sie dazu benutzt, sich emphatisch gegen angeblich trockene Abstraktion und dürren Formalismus abzugrenzen. Schlimmstenfalls verkommt die Berufung auf Anschauung — wie im Dritten Reich geschehen — zu einem ideologischen (z.B. rassistisch ausgerichteten) Eigentlichkeitsjargon. Wenn Nationalsozialisten "Formalismus" sagten, meinten sie "jüdisch", "lebensfern", "degeneriert", "intellektuelles Variété" und damit echtem Deutschtum entgegengesetzt, das angeblich in der Anschauung wurzelt. Als Beispiel dafür sei L. Bieberbach genannt. Schon 1926 griff er in einer Rede über das Wissenschaftsideal der Mathematiker den Formalismus polemisch an und lobte die "anschauliche Gegenständlichkeit" der Mathematik Felix Kleins. Im Jahre 1934 erschien dann in Bd. 40 der Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften ein Artikel, in dem es (wiederum unter Bezug auf Klein) heißt:
So denkt ein deutscher Geist, der zum Sehen geboren, zum Schauen bestellt, der klaren Stimme seiner Sinne traut und für wahr nimmt, was klarer Überlegung standhält (zit. nach Mehrtens a.a.O., Kap. 4).
In der Mathematik werden anschauliche Vorstellungen, vor allem aber konstruktive Verfahren (aus guten Gründen) allgemein geschätzt. Konstruktive Erkenntnisse haben einen höheren Informationsgehalt. So beinhaltet ein Verfahren, mit dem sich die Lösungen einer Gleichung berechnen lassen, mehr als die bloße Existenzaussage, dass die betreffende Gleichung lösbar sei. Allgemein lassen ja reine Existenzbehauptungen die Frage offen, ob die Objekte, deren Existenz behauptet wird, durch ein Verfahren zu berechnen oder zu konstruieren sind. Ein Beispiel dafür ist Vinogradoffs nicht-effektive Schranke für die Darstellbarkeit ungerader Zahlen als Summe dreier Primzahlen.
Daneben bleiben der Anschauung, je nach Praxiszusammenhang, noch eine Reihe residualer Funktionen:
Der Aufbau formaler Kalküle (Systeme) verlangt grundlegende und nicht-eliminierbare semiotisch-arithmetische Evidenzen, die konstruktiv zu verstehen sind. Sie betreffen das Hantieren mit Zeichenreihen, den induktiven Aufbau von Termen und Formeln sowie das mathematische Erfassen auch infiniter Sachverhalte (z.B. der Tatsache, dass jede Formel einen Term enthält, und dgl. mehr).
Heuristische (und damit erkenntnisleitende) Funktionen in Forschungsprozessen
Didaktische Funktionen: als Verständnishilfe, Plausibilisierung, aber auch heuristische Orientierung, sofern diese in Lernprozessen ausdrücklich einbezogen wird
Auch bei formaler Hochzüchtung mathematischer Techniken oder weitreichenden Abstraktionen spielen Anschauungsmomente (wieder) eine Rolle, meist als das Denken begleitende private Bildsprache, die sich durch den längeren und intensiven Umgang mit mathematischen Begriffen und Theorien entwickelt. Wenn man sich in ein System vertieft, sich auf seine Begriffsbildungen und Denkweisen einlässt, entsteht am Ende eine Art Vertrautheit, ja Selbstverständlichkeit. Ist es die "Erfahrung des Gelingens" (von der Paul Bernays gesprochen hat) oder einfach nur die allmähliche Gewöhnung an einen bestimmten Geisteszustand? Mathematiker wissen, dass man "in einer Sache drin sein" muss. Ramanuyan ist ein Beispiel dafür, wie weit sich solche Intuitionen entwickeln lassen. Es klingt ein wenig simpel, wenn man sagt, Ramanuyan habe "auf Du und Du" mit den Zahlen gestanden. Andererseits ist es aber sehr viel, wenn man so etwas von jemandem behaupten kann.