© 2004-2008 Prof. Dr. Alfred Schreiber 
Stand: 2008-10-15

Anwendungen der Mathematik:
Mittelwerte

Übersicht (Definitionen, Lehrsätze) ( pdf)

1. Bedeutung und Aufgabe von Mittelwerten

    1. Mittelwerte im Alltag
    2. Beobachtungsgrößen, Skalenausprägung
    3. Stichproben und Häufigkeitsverteilungen
    4. Idee des Mittelwerts

2. Das arithmetische Mittel

    1. Definition und erste Deutung
    2. Anwendbarkeit
    3. Erweiterung der Stichprobe
    4. Zusammenhang zwischen AM und relativer Häufigkeit
    5. Invarianz unter Skalentransformationen

3. Das geometrische Mittel

    1. Definition und erste Deutung
    2. Exponentielles Wachstum
    3. Anwendung auf Wachstumsvorgänge
    4. Die geometrisch-arithmetische Ungleichung
    5. Anwendung auf Optimierungsprobleme

4. Das harmonische Mittel

    1. Historische Herkunft
    2. Allgemeine Definition
    3. Mittelung zeitbezogener Größen
    4. Eine Ungleichung für das HM
    5. Analyse des sog. Cost-Average-Effekts

5. Ein elementares Anwendungsbeispiel

    1. Ein Beispiel und seine Modellierung
    2. Das quadratische Mittel

6. Der Median (Zentralwert)

    1. Ein Beispiel. Allgemeine Definition
    2. Streuungsmaße
    3. Eine Minimalitätseigenschaft des Medians
    4. Anwendungsbeispiel

7. Gewichtete Mittel

    1. Definition. Einfache Anwendungen
    2. Preisindizes nach Laspeyres und Paasche
    3. Die Jensensche Ungleichung
    4. Erwartungswerte
      a. Mittlerer Gewinn beim Glückspiel
      b. Nutzenerwartungswert, Risikoverhalten
      c. Mittlere Information, Entropie

8. Ein allgemeines Ausgleichsprinzip

    1. Das "Prinzip der kleinsten Quadrate"
      a. Anpassung von Kurven
      b. Lineare Regression
    2. Mittelwerte als Abstandsminima
      a. Maximum-Metrik: Bereichsmittel
      b. Summen-Metrik: Zentralwert
      c. Euklidische Metrik: Arithmetisches Mittel
      d. Quasi-arithmetische Mittel
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