| Grundzüge der Mathematikdidaktik |
Die Mathematikdidaktik hat in ihrer Geschichte eine Fülle wertvoller Lernmittel und erfindungsreicher Unterrichtsmaterialien hervorgebracht. Wenn hier der Computer als Hilfsmittel herausgegriffen wird, so geschieht dies wegen seiner Vielseitigkeit und wegen der (auch in die Zukunft weisenden) Aktualität des Themas für die Lehrerbildung und den Schulalltag.
In der Vergangenheit sah man in Computern vor allem Maschinen, mit denen sich große Zahlen(mengen) schnell und zuverlässig verarbeiten lassen; von dieser Aufgabe stammt auch der englische Name "Computer" für "Rechner". Heute tritt dagegen — gelegentlich einseitig — ihre Fähigkeit zur Darstellung (Ausgabe) multimedialer Daten in den Vordergrund. Am besten stellt man sich einen Computer als universelle symbolverarbeitende Maschine vor, die je nach Konfigurierung und Programmierung die unterschiedlichsten Funktionen ausführen kann.
Im Zusammenhang mit Lehren und Lernen lassen sich drei Rollen unterscheiden:
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1. Computer als Unterrichtsgegenstand 2. Computer als Lern- und Informationsmedium 3. Computer als Werkzeug |
Bereits in den 1970er Jahren wurde vorgeschlagen, Computer im Stoffkanon des Unterrichts an allgemeinbildenden Schulen zu berücksichtigen. Als Fächer kommen hierfür vor allem Informatik, Mathematik, Technik und Physik in Frage. Wird der Computer zum Thema des Unterrichts gemacht, so stehen seine Funktionsprinzipien im Vordergrund, sein Aufbau, seine Programmierung und seine wichtigsten Anwendungsmöglichkeiten. Diese (keineswegs selbstverständliche Option) ist sorgfältig zu unterscheiden von dem Versuch, Schüler(innen) an die verständige Handhabung und den Gebrauch eines PC, etwa als Gerät zur Textverarbeitung oder zur Informationsrecherche, heranzuführen.
In einer Betrachtung von Hilfsmitteln für das Lehren und Lernen spielt der Gegenstandsaspekt allenfalls eine untergeordnete Rolle.
In dieser Rolle ist der Computer ein Mittel, durch dessen Gebrauch Lernvorgänge angeregt, gefördert (in den Spielarten: unterstützt, erleichtert, gesteuert) oder kontrolliert werden (sollen) — nicht anders übrigens als dies für herkömmliche Medien wie Schulbücher, Testblätter, Foliensammlungen, Lehrfilme, physische Modelle oder Materialien für Unterrichtsaktivitäten beansprucht wird.
Computern bzw. den auf ihnen laufenden Unterrichtsprogrammen schreibt man eine Reihe von potentiellen (!) Eigenschaften zu, in denen sie sich — vermeintlich oder tatsächlich — von traditionellen Lernmedien unterscheiden:
Sie sind flexibel nutzbar hinsichtlich ihrer materiellen, örtlichen und zeitlichen Verfügbarkeit, Manipulierbarkeit und Handhabung.
Sie integrieren die bislang getrennten Welten diskreter Daten (Texte, Bilder) und kontinuierlicher Daten (Ton, Filme/Video) auf einer gemeinsamen digitalen Plattform. Dies ist der Kern des in den 1990er Jahren aktuell gewordenen Schlagworts Multimedia.
Sie sind interaktiv in dem Sinne, dass sie auf Lernhandlungen reagieren und/oder Rückmeldungen ("Feedback") hervorbringen können.
Sie sind adaptiv (und als Folge davon individualisierend), sofern sie sich selbsttätig an den Lernfortschritt jedes einzelnen Schülers anpassen.
Es ist das gebündelte Potential dieser Eigenschaften, das den Computer als überaus attraktives Medium erscheinen lässt. Dies wird noch verstärkt durch die Möglichkeiten vernetzten Arbeitens und Lernens im Internet bzw. World Wide Web (WWW).
Im beruflichen oder privaten Alltag werden Computer(programme) als Werkzeuge, d.h. als Instrumente (Hilfsmittel) zur Erledigung diverser praktischer Aufgaben genutzt:
Auf mathematischem Gebiet benötigt man Werkzeuge vor allem zur Durchführung folgender Aufgaben:
In einigen Fällen greift man dabei auf pädagogisch ausgelegte Programme zurück, etwa weil die Werkzeuge für Spezialisten zu komplex sind oder weil es um Gebiete wie das "schulgeometrische Konstruieren" geht, die überwiegend oder sogar ausschließlich im schulischen Mathematikunterricht eine Rolle spielen.
Hiervon soll im folgenden ein erster Einblick gegeben werden, der zu eigener Beschäftigung mit dieser Rolle des Computers anregen möchte.
Schulgeometrisches Konstruieren: Schumann
1991, Elschenbroich 1996,
Hischer 1997
Numerisches und symbolisches Rechnen: Kutzler
1995, Heugl 1996,
Herrmann 1997
Computer im Mathematikunterricht allgemein: Reichel
1995, Hole 1998
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Der Gebrauch des Computers als Lern- und Informationsmedium ist für den alltäglichen Mathematikunterricht eher ein Nebengleis. Die Mathematik hat davon (vielleicht bis auf wenige Ausnahmen) denselben Nutzen wie andere Fächer. Das wird deutlich, wenn man sich einige typische Beispiele dieser Einsatzformen anschaut.
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Information |
Das "elektronische Umblättern" in seinen einfachen Formen gehört überwiegend der Vergangenheit an. Heute verfügt man über ebenso raffinierte wie attraktive Techniken der Informationsdarbietung und -recherche (Multimedia, Hypertext, Suchmaschinen, etc.). Zu den wichtigsten Ausprägungen von Informationssoftware gehören:
Multimedia-Titel zu einem Wissensgebiet (meist unterhaltsam aufgemacht,
im Handel unter der Rubrik "Infotainment" oder "Edutainment"
erhältlich), z.B.
Escher Interactive (von Eyeware Interactive b.v. 1996, Dumont Neue Medien)
Count Down (von M. Nanny & R. Mohl 1994, Voyager New York)
Ein
Zahlenspiel für Kinder im Alter von 4 bis 10 Jahren
Elektronische Wörterbücher, Fachglossare und Enzyklopädien (hypertext-tauglich
aufgrund der Inhaltsstückelung sowie der netzwerkartigen Aufbereitung des
Materials), z.B.
www.mathworld.com (von E. Weisstein)
Interactive Math Dictionary (von MathRessource, Inc., Halifax Nova
Scotia 1997):
Bildschirm aus Interactive Math Dictionary
Web-Sites (die Text, Bild und Ton präsentieren, Verknüpfungen zu
anderen Dokumenten im WWW anzeigen, Dateien und Programme zum Herunterladen
anbieten, das Suchen nach Information ermöglichen, u.a.m.), z.B.
Mathe online (Uni Wien)
ZERO: Mathematik
Online (Uni Flensburg)
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Tutorium & Training |
In tutoriellen Lernprogrammen wird versucht, den Inhalt so zu präsentieren, dass dabei der individuelle Lernstand des Schülers (Studenten, usw.) berücksichtigt wird. Das ist aus mindestens zwei Gründen nicht einfach:
Der Programm-Tutor muss dem Schüler Leistungen — etwa in Gestalt formatierter Aufgaben (sog. Frames) — abverlangen und die Arbeitsergebnisse (Antworten, Aufgabenlösungen) im Hinblick auf die anvisierten Unterrichtsziele beurteilen.
Ähnliches gilt für Übungsprogramme ("Drill & Practice"), deren Hauptzweck darin liegt, bereits erworbenes Wissen zu festigen oder zu vertiefen. Von einer Trainingssoftware darf man mindestens erwarten, dass sie den Teilnehmer (durch ein persönliches Kennwort) identifiziert, seinen Lernfortschritt kontrolliert und verwaltet, den Lernstoff in variablen Aufgabenformaten und auf einer gut gestalteten Bedienoberfläche darbietet und es dem Lernenden ermöglicht, auf verschiedene Weise Zugang zum Inhalt des Programms zu erhalten (z.B. reine Rezeption, interaktives Üben, Tests, Prüfungssimulation).
Heute werfen große und kleine Verlage einen Typ bunter Tutor- und Übungsprogramme auf den Markt, der manchmal auch als "Nachmittagssoftware" apostrophiert wird. Sein Zweck liegt in der Nachhilfe zu einem Unterrichtsfach oder in der Nachbereitung des Schulstoffs. Ein beachtlicher Anteil der marktgängigen Titel ist dem Fach Mathematik zuzurechnen. Vieles davon ist von zweifelhafter didaktischer Qualität. Hier etabliert sich — gleichsam parallel zur Schule — ein Fachunterricht, der von der Lehrerschaft nicht einfach ignoriert werden darf. Eine erste Orientierungshilfe leisten Kataloge mit pädagogischen Kriterien zur Evaluation solcher Lernsoftware.
Beispiele sind die Telekolleg-Reihe als Tutorium zur Sekundarstufen-Mathematik (TR-Verlagsunion) oder der Aufgaben-Trainer (aus dem Projekt ZERO) als Übungs- und Begleitprogramm im Grundstudium Mathematik.
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Simulation |
Hierunter versteht man (probeweises) Handeln in einem System, das einen Ausschnitt der Realität modelliert. Bekannt sind Flug- oder Fahrsimulatoren, an denen sich komplexe Handlungssequenzen (auch und gerade in schwierigen Situationen) ohne Gefahr für Mensch und Umwelt trainieren lassen. Andere Beispiele sind Modelle für die Entwicklung von Populationen, Wirtschaftsplanspiele, Rollenspiele (häufig auch zu Unterhaltungszwecken), etc.
Ein interessanter Typ didaktischer Simulation stellen sogenannte Mikrowelten dar. Sie scheinen besonders für mathematische und naturwissenschaftliche Themen zugeschnitten. Eine Mikrowelt besteht aus einer Menge von Objekten zusammen mit den für sie gültigen Verhaltensregeln. Dem Besucher werden bestimmte Operationen erlaubt, und er lernt — zumindest wird dies erwartet — durch den handelnden Umgang mit den Mikrowelt-Objekten. Die Frage nach dem, was eigentlich durch eine Simulation tatsächlich gelernt wird, verdient dabei besondere (kritische) Beachtung. Oft besteht eine Simulation aus einem Experiment: Man ändert die "Weltgesetze" ab und schaut nach, wie sich dies auf das Verhalten der Objekte auswirkt.
Ein originelles und gelungenes Beispiel einer Mikrowelt ist Tarski's World (Barwise/Etchemendy).
Bildschirmausschnitt
aus Tarski's World
In Tarski's World lassen sich Konfigurationen ("Welten") aus drei Sorten von Körpern in drei Größen aufbauen. Zu ihrer Struktur gehören räumliche Beziehungen: FrontOf, BackOf, LeftOf, RightOf und Between (3-stellig). Nun kann man z.B. Sachverhalte in der Sprache der elementaren Logik beschreiben (und prüfen lassen). Der umgekehrte Aufgabentyp besteht darin, zu vorgegebener Aussagenmenge eine passende Welt (ein Modell) zu finden.
Der Einsatz des Computers als Lern- und Informationsmedium im Mathematikunterricht ist ein von der Fachdidaktik (noch) nicht sonderlich beachtetes Thema. Es gibt allerdings keinen Grund, weshalb Hervorbringungen dieser Kategorie weniger Aufmerksamkeit verdienen oder mit geringerer fachlicher und pädagogischer Sorgfalt realisiert werden sollten als Schulbücher oder Lehrfilme. Wenn immer noch Kritik an der Qualität geäußert wird, so mag das auch mit den an Konzeption und Entwicklung beteiligten Autoren zu tun haben. Allerdings führen auch einseitig "konstruktivistische" Bewertungskriterien dazu, dass sinnvolle Übungs- und Testmöglichkeiten vorschnell verworfen werden.
Vom Medium Computer sollte man keine Wunderdinge erwarten. Es kann und soll keineswegs den Unterricht im Klassenzimmer ersetzen. Als Informationsquelle und Lernhilfe (im oben angedeuteten Sinn) liefert es in erster Linie eine Ergänzung oder Begleitung. Als "neues" Medium ist sein Reiz allerdings schnell abgeflacht (und dies umso rascher, wenn es unsachgemäß oder mit übertriebenen Erwartungen eingesetzt wird). Umgekehrt führt aber auch der negative Eifer und die Abwehrhaltung mancher Bedenkenträger in eine Sackgasse. Notwendig ist eine sorgfältige rationale und kritische Analyse.
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Die herkömmlichen Konstruktionswerkzeuge der (euklidischen) Schulgeometrie sind Lineal, Zirkel, Geodreieck und Winkelmesser. Mit ihnen werden Figuren auf Papier gezeichnet, die — einmal erstellt — sich nur noch mit Mühe (wenn überhaupt) verändern lassen. Soll ein bestimmter Punkt und damit auch die von ihm abhängigen Teile der Figur eine andere Lage einnehmen, so muss man dies in der Vorstellung (gleichsam vor dem inneren Auge) vollziehen oder die Figur neu zeichnen.
Sogenannte Dynamische Geometrie-Systeme (DGS) lösen (unter anderem) dieses Problem wie folgt: Automatisierte Konstruktionsschritte (Befehle) erzeugen die Figur logisch und stellen sie auf dem Bildschirm dar. Der Benutzer (Lehrer oder Schüler) kann sie nun mit der Computermaus an bestimmten Teilen "anfassen" und unter Wahrung des Konstruktionszusammenhangs bewegen (sog. Zugmodus).
Hier einige der wichtigsten Merkmale dynamischer Geometrie-Software:
Praktisch erweitern sich hierdurch die Möglichkeiten der Geometrie im Klassenzimmer beachtlich:
Vor allen Dingen wird heuristisches Arbeiten und entdeckendes Lernen in hohem Maße unterstützt. Man kann experimentell vorgehen, indem man eine Figur verändert, in Grenzlagen bringt und sich ein Bild von der Abhängigkeit ihrer Teile verschafft. Nicht nur die Figur, sondern auch der Zusammenhang ihrer Konstruktion als Ganzes wird visualisiert. Auf diese Weise gewinnt man auch zu komplexeren Problemen bzw. Figuren leichteren Zugang.
Mit den Konstruktionswerkzeugen lassen sich interaktive (sogar animierte) Arbeitsblätter für die Klasse vorbereiten. Die fertigen oder halbfertigen Figuren dienen dann den Schülern zur weiteren Erkundung bzw. Ergänzung. Für schwächere Schüler lassen sich Blätter mit mehr Vorgaben oder Hilfen entwickeln. Die Figuren können beschriftet, mit Begleittext versehen und ausgedruckt werden. Neuerdings erlauben immer mehr Systeme den Export ihrer Figuren auf Web-Seiten.
Ein prominenter Vertreter der DG-Systeme ist Cabri Géomètre:
Mit
Cabri II erstelltes Arbeitsblatt
Quelle: H. Schumann 2000
Der Anwendungsbereich von DGS ist nicht auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal beschränkt. Wie bei Schumann 2000 überzeugend dargelegt ist, werden Extremwertaufgaben (insbesondere Optimierungsprobleme) durch den Einsatz dynamischer Geometrie elementar zugänglich, d.h. ohne die übliche Differentialrechnung. Daher lässt sich das Thema dann bereits in der Sekundarstufe I behandeln.
Die schöne neue Welt der Software-Geometrie birgt aber auch Schwierigkeiten. Einige sind grundsätzlicher Natur, andere stellen eher eine Herausforderung dar, über Art und Umfang der Integration in den normalen Unterricht verstärkt nachzudenken:
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Viele mathematische Probleme werden dadurch effektiv gelöst, dass man das Gesuchte — eine Zahl, eine Figur — durch ein "mechanisches" Verfahren berechnet. Hier sind einige bekannte Beispiele solcher Algorithmen aus der Schulmathematik:
Ein Problem, für dessen Lösung ein Algorithmus gefunden wurde, wird dadurch erst einmal zu einer Routine-Aufgabe "degradiert", die auch ein unintelligentes System — eine Maschine, ein "Rechensklave" — erledigen kann. Die Mathematik liefert auf diese Weise eine Technologie, von der wir kaum mehr merken, dass und in welchem Ausmaß sie in Alltag, Wissenschaft und Technik ihre Dienste verrichtet (Beispiele: Automatik des Einmaleins im Kopfrechnen, Belichtungsautomatik eines Fotoapparats).
Perfekte Verkörperungen "wegrationalisierter" Mathematik sind Computer-Algebra-Systeme (CAS). In ihnen wurden die besten bis heute bekannten Algorithmen implementiert, um ...
CAS der gehobenen Kategorie (z.B. Mathematica, Maple, MuPAD) verfügen zusätzlich über eine eingebaute Programmiersprache. Mit ihr kann der Nutzer eigene Algorithmen formulieren, ausführen und dem System hinzufügen.
Wie andere Werkzeuge verlangt auch ein CA-System eine Einarbeitung und damit einen gewissen Lernvorlauf. Danach wirkt das System aber als Verstärker beim mathematischen Problemlösen. Mühelos erhalten wir Tabellen mit den Wertverläufen von Funktionen, die zugehörigen Graphen und — wenn sich Parameter variieren lassen — Kurvenscharen. Induktives Vorgehen und auf Variation beruhende heuristische Strategien werden auf diese Weise unterstützt.
Zu den verblüffendsten Leistungen von CA-Systemen gehört das symbolische Rechnen. Hierunter fällt z.B. die Auflösung algebraischer Gleichungen in Radikalen (wo es möglich ist), Vereinfachung algebraischer Terme, Differentiation und Integration von Funktionen der Analysis, Summation von Reihen, Taylorreihen-Entwicklung, Lösungsermittlung zu zahlreichen Typen von Differentialgleichungen, usw.
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Beispiel cas-mathematica.nb
(Notebook zur Demonstration einiger schulnaher Möglichkeiten von
Mathematica) |
Schon ein flüchtiger Blick in eines der handelsüblichen Computer-Algebra-Systeme lässt erkennen, dass viele der herkömmlichen Standard-Aufgaben effektiv trivialisiert sind. Erst recht in der Schulmathematik kann der Einsatz von CAS schnell bedeuten, dass man mit Kanonen auf Spatzen schießt. Man übersetzt die Aufgabe in einen formalen Ausdruck, wählt den Befehl SOLVE — und wartet auf das Resultat. Für die meisten praktischen Anwendungen mag das ausreichen. Im Mathematikunterricht der allgemeinbildenden Schule können wir uns damit nicht zufriedengeben. Einige Betrachtungen drängen sich auf:
Die "Übersetzung einer Aufgabe in einen formalen Ausdruck", den ein CAS abarbeiten kann, setzt voraus, dass der Nutzer (Schüler) die Struktur der Aufgabe durchschaut und die zugehörigen Daten aus ihrem Kontext herauszulösen versteht. Ferner müssen die der Struktur entsprechenden Ausdrücke (Terme) syntaktisch korrekt gebildet werden. Offenbar wird durch ein CAS mathematisches Verständnis nicht "eingespart", sondern umgekehrt geradezu erzwungen.
Mit den von einem CAS berechneten Ergebnissen sollte man nicht unkritisch umgehen. Wird etwa der Term Ö(4–2Ö3)) zu Ö3–1 vereinfacht, so mag dies im Unterricht ein willkommener Anlass sein, nach einer Begründung dafür zu suchen. In der Regel hängt es von der Situation ab, in welchem Sinn ein Ausdruck vereinfacht werden muss.
Rezepthaftes Anwenden von CAS-Algorithmen ist legitim. Es entlastet den Praktiker, der das Rad nicht neu erfinden muss. Auch in Lernprozessen kann es sinnvoll sein, bestimmte Verfahren in eine Black-Box auszugliedern, um sich auf die neuen Aspekte eines Problems konzentrieren zu können. Allerdings sollten die ausgegliederten Verfahren, zumindest die wichtigsten, zuvor verstanden worden sein.
Ein leistungsfähiges Werkzeug verleitet seine Nutzer dazu, sich immer mehr (und schlimmstenfalls ausschließlich) mit solchen Dingen zu beschäftigen, auf die das Werkzeug erfolgreich angewendet werden kann. Dies ist verständlich und hat zeitweilig wohl auch sein Gutes. Ein solcher Einfluss von CAS auf den Inhalt von Unterricht (oder gar auf den Lehrplan) muss aber bedenklich erscheinen.
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| Hinweise zu CBT (Computer-Based Training, Lernsoftware) |
| Zwei Preprints aus dem Institut für
Mathematik und ihre Didaktik:
Preprint
Nr. 3: Vortrag (A. Schreiber: RWTH Aachen, Dezember 1995, PDF-Datei) Preprint
Nr. 11: Vortrag (A. Schreiber: Uni Paderborn, Februar 1998, PDF-Datei) Literaturhinweis: Schreiber 1998 |
| Hinweise zu DGS | ||||||||||||
Dynamische Geometrie-SystemeInzwischen gibt es an die zwei Dutzend DG-Systeme, über deren Leistungsschwerpunkte, aktuelle Ausstattung und Verfügbarkeit man sich am besten direkt durch eine Recherche im Internet (via Suchmaschine) informiert. Die folgende Auswahl soll einen ersten Einblick vermitteln:
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| Hinweise zu CAS | ||||||||||||
Computer-Algebra-SystemeComputer-Algebra-Systeme werden vor allem von Wissenschaftlern, Ingenieuren, etc. benutzt, um routinemäßiges Rechnen einzusparen. Didaktische Gesichtspunkte spielen dabei kaum eine Rolle (auch bei Systemen, die heute als dezidiert pädagogisch angeboten werden).
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