Grundzüge der Mathematikdidaktik © Prof. Dr. Alfred Schreiber

1
Didaktik der Mathematik – eine erste Orientierung

• Aufgabenbeschreibung
• Verhältnis zu anderen Wissensgebieten
• Anmerkung zur historischen Entwicklung
• Ratschläge für das Studium, Literaturhinweise
• Ergänzende Materialien

Aufgabenbeschreibung

Die Didaktik der Mathematik (Mathematikdidaktik oder kurz: Fachdidaktik) bestimmt sich historisch und sachlich aus der Aufgabe, das Lehren und Lernen von Mathematik hinsichtlich seiner Ziele, Bedingungen und Methoden zu erforschen und zu verbessern.

Traditionell vorherrschender Teil dieser Aufgabe ist der schulisch organisierte Mathematikunterricht für Kinder (Grundschule) und Jugendliche (Sekundarstufen bis zum Abitur). Aus dieser Sicht ist die Mathematikdidaktik die Berufsdisziplin des Mathematiklehrers. Neben der allgemeinbildenden Schule gibt es weitere Bereiche, in denen die Fachdidaktik zum Zuge kommt (oder kommen sollte), z.B.

• Berufliche Ausbildung,
• Betriebliche Weiterbildung,
• Erwachsenenbildung,
• Hochschulstudium,
• Lehrerfortbildung

Zwei Seiten der Fachdidaktik

Fachdidaktik ist in gewisser Hinsicht als eine Grundlagendisziplin anzusehen. In bezug auf ihren Gegenstand (Mathematik als Lerninhalt) befindet sie sich dabei auf einer übergeordneten Ebene: Es wird dort über die Erkenntnisweisen der Mathematik nachgedacht, darüber, wie sich Begriffe beim Lernenden bilden, über die Auswahl des Lehrstoffs und über die Ziele, die man mit seiner Vermittlung anstrebt.

Die Didaktik der Mathematik hat aber auch technologische Züge. Sie entwickelt Methoden, mit denen sich verfügbares Grundlagenwissen (auch anderer Disziplinen) anwendbar machen und in die Praxis umsetzen lässt. Die Planung und Vorbereitung von Mathematikunterricht ist eine typische Praxisaufgabe.

Pädagogischer Kontext

Der Begriff der Praxis verweist auf einen umfassenderen Zusammenhang: Schließlich soll in der Schule – ihrem gesetzlichen Auftrag gemäß – die Bildung junger Menschen stattfinden, ihre gemeinschaftliche Erziehung zu mündigen, eigenständig denk- und urteilsfähigen Persönlichkeiten. Solche oder ähnlich formulierte Ziele sind kein Thema von Wissenschaft und auch nicht mit wissenschaftlicher Methode zu erreichen. Vielmehr stehen sie in einem pädagogischen Kontext, in dem der zwischenmenschliche Umgang und die von Lehrer(inne)n vorgelebten Haltungen eine maßgebliche Rolle spielen. Auch das gehört – in einem weiteren Sinne – zu einer Fachdidaktik.

Gliederung des Aufgabenbereichs

Die Mathematikdidaktik bietet zu diesen Fragen im allgemeinen mehrere, oft konkurrierende (und nicht immer untereinander verträgliche) Antworten. Das liegt in der Natur der Sache. Der gesellschaftliche Zusammenhang, in dem Mathematik unterrichtet wird, ist einigermaßen komplex. Ziele, Gegenstände und Prozesse des Mathematiklernens sind nicht nur in sich nicht einfach strukturiert; sie stehen darüberhinaus auch im Spannungsfeld von außen her einwirkender "Kräfte" und Bedingungen (Institution Schule, Lehrplan und Rahmenrichtlinien, Schulausstattung, Stundenplan, soziales Umfeld, Eltern, Öffentlichkeit, etc.).

Die Diskussion über mögliche und wünschenswerte Zielvorstellungen ist prinzipiell nicht abschließbar. Die Auswahl einzelner Lerngegenstände hängt von den jeweils angenommenen übergeordneten Zielvorstellungen ab, von persönlichen Wertungen und Präferenzen, nur zu oft aber auch von aktuellen (z.T. modischen) Trends von Fach und Fachdidaktik; sie unterliegt damit einem ständigen Wandel. Andererseits läßt sich ein Lerninhalt kaum strikt aus allgemeinen Zielen ableiten.

Konzepte statt Rezepte

Das Lern- und Unterrichtsgeschehen ist durch eine Vielzahl von Variablen beeinflußt (Lernvoraussetzungen, Schülerpersönlichkeit, Einstellungen und Verhalten des Lehrers, Fachkompetenz usw.). Es wäre falsch, daraus zu schließen, man bräuchte erst gar nicht nach begründbaren und anwendbaren Prinzipien und Methoden der Unterrichtsgestaltung zu suchen. Die gibt es durchaus, und sie bilden das Handwerkszeug des Lehrers. Allerdings handelt es sich nicht um allgemeingültige Rezepte, die automatisch immer und überall funktionieren. Vielmehr sind es Konzepte (und gelegentlich bewusst vage gehaltene Regeln), die mit Sachverstand und pädagogischem Gespür in praktisches Unterrichtshandeln umgesetzt werden wollen. Auch im echten Handwerk braucht man Fachkenntnisse, Erfahrung und Übung, um Instrumente und Gerätschaften im praktischen Einsatz richtig zu handhaben.

Vorläufige Empfehlung zum Umgang mit didaktischen Problemen

Bei soviel restriktiven Rahmenbedingungen auf der einen und Offenheit und Vagheit auf der anderen Seite stellt sich für angehende (und "fertige") Lehrer(innen) natürlich die Frage, wie sie sich selbst zur Didaktik ihres Fachs stellen und mit ihren Errungenschaften umgehen sollen. Ich gebe hier vorläufig folgende (zugegebenermaßen vage) Empfehlungen:

• Spielräume erkennen und pragmatisch nutzen
• den Sinn für das Wesentliche schärfen
• Einseitigkeit und Ideologisierung vermeiden
• eine persönlich verantwortete "Lösung" entwickeln

Verhältnis zu anderen Wissensgebieten

Kaum ein Wissensgebiet steht für sich allein. Das gilt erst recht für die Mathematikdidaktik, die in ein dichtes Geflecht von Beziehungen zu anderen Disziplinen eingebunden ist. (Die Frage, ob die Mathematikdidaktik ihrerseits eine Wissenschaft in irgendeinem vordefinierten oder definierbaren Sinn sei, kann dabei offen bleiben und erscheint eher von nachrangigem Interesse).

Es ist sinnvoll, zwischen Nachbardisziplinen und Bezugsdisziplinen zu unterscheiden.

Nachbardisziplinen

Eine Nachbardisziplin ist eine solche, deren Methoden und Resultate sich in der Fachdidaktik anwenden lassen. Dies trifft z.B. auf sozialwissenschaftliche Methoden oder auf Ergebnisse der Lernforschung zu. Insofern sind die entsprechenden Gebiete der Soziologie und Psychologie als Nachbardisziplinen der Mathematikdidaktik anzusehen. Mit ihren Methoden übernimmt die Fachdidaktik teilweise auch die betreffenden Untersuchungsgegenstände als ihre eigenen, z.B. Lernprozesse (sofern es in ihnen um Mathematik geht). Die Methoden und Resultate einer Nachbardisziplin gehören – eigentlich selbstverständlich – nicht zum Gegenstandsbereich der Fachdidaktik.

Bezugsdisziplinen

Demgegenüber sind Bezugsdisziplinen solche, deren Inhalt (Ergebnisse) und Methoden in der Fachdidaktik als Lerngegenstände reflektiert bzw. thematisiert werden. Das gilt zuerst einmal für die Mathematik selbst. Ein mathematischer Begriff oder Satz wird in der Fachdidaktik nicht zur Erkenntnisgewinnung (z.B. zur Ableitung weiterer Begriffe und Sätze) benutzt. Vielmehr ist er als möglicher Inhalt von Mathematiklernen bzw.- unterricht Thema des Nachdenkens. Die Mathematik, aber auch angrenzende Felder (etwa der Ideen- und Kulturgeschichte, der Informatik oder Naturwissenschaften), sind in diesem Sinn Bezugsdisziplinen.

Anmerkung zur historischen Entwicklung

Überlegungen zum pädagogischen Stellenwert der Mathematik gab es seit jeher. Zu einer eigenständigen Disziplin entwickelte sich die Mathematikdidaktik im 19. Jahrhundert – zeitgleich mit der Einführung von Mathematik als Schulfach (seit 1812 Prüfungsfach im Abitur).

Eine Einführung in die Fachdidaktik bietet nicht den Rahmen, näher auf die geschichtliche Entwicklung des Mathematikunterrichts und der Fachdidaktik einzugehen. Einen kompakten, mit zahlreichen Quellenverweisen versehenen Abriss bietet Steiner 1978. Inzwischen klassisch geworden ist die Studie Lenné 1969, in der die Entwicklung der deutschen Fachdidaktik bis Ende der sechziger Jahre eingehend analysiert wird. Lenné macht drei dominierende Strömungen aus, die bis heute z.T. tiefe Spuren im Mathematikunterricht hinterlassen haben:

• "Traditionelle Mathematik" (Tradition des neuhumanistischen Gymnasiums:  Klein, Lietzmann, Stender)
• Genetischer Mathematikunterricht und Didaktik des Exemplarischen bzw. Elementaren (Wittenberg, Wagenschein)
• "Neue Mathematik" als Reform des Mathematikunterrichts nach strukturalistischen Leitideen (KMK-Richtlinien 1968)

Nach Abklingen des Strukturalismus der 70-er Jahre, der im Klassenzimmer allzu häufig als leerer Formalismus landete, begann man unter den Schlagworten Anwendungsorientierung und Problemorientierung wieder nach mehr inhaltlichen Essenzen zu suchen. Die aktuelle Didaktik (auch anderer Fächer als Mathematik) wird stark von konstruktivistischen Ideen beeinflusst. Danach wird Lernen – vereinfacht gesagt – vor allem als Leistung autonomer Individuen verstanden, die sich ihr Wissen selber konstruieren und organisieren.

Ein Blick in ein Übersichtswerk wie das International Handbook of Mathematics Education 1996 zeigt, wie weitgespannt und vielfältig die heutige Mathematikdidaktik ausgerichtet ist. Neben klassischen Themen wie Unterrichtsziele, Curriculumentwicklung oder Übungsformen findet man nicht wenige Arbeitsgebiete, die keinen Schulbezug im engeren Sinne aufweisen, aber gleichwohl auch für Lehrer interessant sind, z.B.

• Software-Lernumgebungen
• Popularisierung
• Fernunterricht ("distance teaching")
• Ethnomathematik

und anderes mehr.

Ratschläge für das Studium, Literaturhinweise

Eine Einführung in die Mathematikdidaktik sollte einen ersten Einblick in die Arbeitsfelder vermitteln, die sich an die vier zentralen W-Fragen Wozu? Was? Wie? Womit? anschließen. Dementsprechend wird mindestens die Gelegenheit geboten,

• das didaktische Zielproblem (mit der Kernfrage nach dem Bildungssinn von Mathematik) kennenzulernen;
• sich über brauchbare Inhalte und Konzepte von Mathematikunterricht zu informieren;
• Methodenbausteine für die Unterrichtsgestaltung kennenzulernen;
• eine Vorstellung davon zu gewinnen, was beim Planen und Vorbereiten von Mathematikunterricht zu beachten ist.

Hieraus resultiert noch nicht – das versteht sich eigentlich von selbst  – eine unmittelbare Befähigung zu praktischem Unterrichten. Wer unterrichtet, verfolgt bestimmte Ziele, vermittelt bestimmte Inhalte und manifestiert (durch eigenes persönliches Beispiel) bestimmte Haltungen und Einstellungen. Dieser Hintergrund muss, bevor das Unterrichten beginnt, erst einmal bewusst gemacht und gründlich durchdacht werden. Es ist unerlässlich, dass angehende Lehrer(innen) zu diesen Fragen im Laufe der Zeit eine eigene Auffassung entwickeln.

Wer sich ein fachmathematisches Gebiet aneignet, kommt nicht umhin, den Stoff anhand von Übungsaufgaben zu erarbeiten. Erst nachhaltige Eigentätigkeit kann dazu führen, dass man im Laufe der Zeit ein Gefühl für die Sache gewinnt. Auch in einer didaktischen Vorlesung ist es ratsam, sich mit bestimmten Fragen, Argumenten und Inhaltsstücken aktiv auseinanderzusetzen. Im allgemeinen löst man dazu keine Probleme im Stil mathematischer Übungsaufgaben, sondern erledigt kleine Arbeitsaufträge, z.B. die Lektüre eines Textes, die kritische Diskussion eines Arguments, die Exploration eines Beispiels, die Vorbereitung einer Unterrichtspassage, u.a.m. Solche Aufgaben werden regelmäßig (und in mäßigem Umfang) gestellt.

In der Mathematikdidaktik findet man, anders als in der Mathematik, nicht so leicht eine einhellige und verbindliche Übereinkunft über das, was richtig oder falsch ist. Auch wenn es nicht angebracht erscheint, die Differenzen in den Auffassungen zu sehr zu dramatisieren, so ist es doch nichts Ungewöhnliches, dass immer wieder unterschiedliche Aspekte betont oder andersartige Methoden verwendet werden, usw. Es empfiehlt sich, mehr als nur ein fachdidaktisches Buch zu studieren.

Hinweise zu begleitender Lektüre

Einführende Lehrbücher in die Mathematikdidaktik:

• Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts (mehrere Auflagen seit 1974)
• Fischer/Malle: Mensch und Mathematik (1985)
• Führer: Pädagogik des Mathematikunterrichts (1997)
• Tietze u.a.: Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II (2 Bde, 2. Auflage 1997)

Monographien (keine Einführungen oder Fachdidaktiken im engeren Sinne):

• Pólya: Mathematik und plausibles Schließen (2. Aufl. 1969, 2 Bände; bedeutendes Werk über Mathematik als schöpferische Tätigkeit)
• Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe (1973, 2 Bände; eigenwilliger "Klassiker", schildert ein kritisches Gesamtbild von Mathematik im Unterricht)
• Davis/Hersh: Erfahrung Mathematik (1981, dt. 1986; spürt der Entwicklung, den Denkweisen und der Bedeutung der Mathematik nach)
• Winter: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht (1991; der Untertitel sagt, was das Buch vermittelt: Einblicke in die Ideengeschichte und ihre Bedeutung für die Pädagogik)

Eine kleine Auswahl von Zeitschriften:

• ml = mathematiklehren (Friedrich/Klett, erscheint 2-monatlich zumeist in Form von Themenheften, gibt sich unterrichtsnah)
• JMD = Journal für Mathematikdidaktik (wissenschaftliches Organ der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik e.V.)
• Educational Studies in Mathematics (Internationale englischsprachige Zeitschrift, forschungsorientiert)
• ZDM = Zentralblatt für Didaktik der Mathematik (Grundsatzartikel und Analysen zu Themenschwerpunkten sowie internationale Dokumentation in Form von "abstracts")

Auch im Internet findet man (etwa über Suchmaschinen) eine Reihe interessanter Quellen zu Stichwörtern wie Mathematics Education, Mathematikunterricht und dgl. mehr.

Ergänzende Materialien

• Zum Begriff "Didaktik der Mathematik" (nach E. C. Wittmann)
• Das Verhältnis Mensch-Mathematik (nach Fischer/Malle)
• The three ways (eine Fabel von Lars Gårding)