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Konzepte von Mathematikunterricht

Welchen Unterricht braucht Mathematik?

Diese Frage (nicht weniger als der vorangestellte Titel) schließt eine grundlegende Auffassung ein: Der Mathematikunterricht benötigt nicht bloß allgemeindidaktische und unterrichtsmethodische Regeln; vielmehr braucht er didaktische Konzepte, die auf das Fach bezogen sind, auf die Eigenart seiner Begriffe, auf die Natur des mathematischen Wissens und die Wege seiner Gewinnung bzw. Aneignung. Für die Qualität des Unterrichts sind die zugrunde liegenden fachdidaktischen Konzepte – sie sollen hier auch Leitideen oder Leitlinien genannt werden – von erheblicher, ja entscheidender Bedeutung.

Fachdidaktische Leitideen sind nicht mit den allgemeinen Zielen des Mathematikunterrichts zu verwechseln, auch wenn es eine Beziehung zwischen ihnen geben mag. Die Ziele beschreiben, was wir mit Mathematik an der Schule erreichen wollen. Die Leitideen bzw. Unterrichtskonzepte sagen hingegen etwas über die Beschaffenheit des Unterrichts aus, darüber, wie er im Innern angelegt und ausgerichtet sein sollte. Die Einzelheiten der Unterrichtsgestaltung, die methodischen Bausteine zu seiner Durchführung werden hierdurch allerdings kaum mehr als vage eingegrenzt und noch keinesfalls festgelegt.

Wie gelangt man zu Leitideen der gewünschten Art? Im Hintergrund aller Überlegungen steht ein Bild von der Mathematik, eine Vorstellung davon, welche Rolle Mathematik für den einzelnen Menschen und für die Gesellschaft spielt. Mit anderen Worten: Es ist über den Sinn der mathematischen Tätigkeit nachzudenken. – Im folgenden werden drei fachdidaktische Leitideen erörtert. Sie haben z.T. eine lange Tradition. In den letzten Jahrzehnten hat sich die Mathematikdidaktik mit ihnen kritisch auseinandergesetzt und sie dabei weiter präzisiert und mit neuen Akzenten versehen.

Entdeckenlassen vs. Belehrung

Ist die Mathematik eine Sammlung fertiger Erkenntnisprodukte, die nur noch passiv konsumiert werden müssen? Oder gehören nicht auch und vor allem die Wege dazu, auf denen man selbständig zu mathematischen Einsichten gelangen kann? Sind Schüler ausschließlich oder überwiegend auf die Belehrung und Steuerung durch die Lehrperson angewiesen? Oder können sie durch eigene Initiative und Aktivität nicht viel motivierter und nachhaltiger lernen?

Die in diesen Fragen gegenübergestellten Positionen werden häufig gekennzeichnet als Unterricht durch Belehrung (direkte Instruktion) bzw. Unterricht durch Entdeckenlassen (auch: entdeckendes oder exploratives Lernen). (Nach heutiger "konstruktivistischer" Mode lässt sich entdeckendes Lernen unter tendenzieller Zurücknahme von Unterweisung noch steigern, etwa zum "Lernarrangement", "Lernangebot", aus dem sich die Schüler auf eigene Kappe das Richtige aussuchen, und dgl. mehr.)

Es folgt eine knappe Vergleichsübersicht zu beiden Konzepten (verkürzt und angelehnt an Winter 1991):

Es wäre verfehlt, in dieser Gegenüberstellung vorab eine einseitige Wertung zu sehen, etwa nach dem Motto: auf der linken Seite der entdecken(lassen)de Unterricht mit seinen (vermeintlich) für sich selbst sprechenden Vorzügen – auf der rechten Seite dagegen der "herkömmliche", frontal aufgestülpte Unterricht mit seinen offenkundigen Mängeln, die man ja aus eigener Erfahrung kennt. So einfach liegen die Dinge nicht. Es sollen daher hier außer Argumenten, die für das Entdeckungslernen sprechen, auch Gesichtspunkte skizziert werden, die das Konzept relativieren. Die direkte Instruktion hat zudem bewährte Vorzüge, auf die man nicht ersatzlos verzichten möchte.

Quellen

Die Leitlinie des entdeckenden Lernens (im Unterricht) hat eine Reihe von Quellen, unter anderen:

• Das Prinzip der Eigentätigkeit des Schülers: in der Reformpädagogik vielfältig entwickelt ("Freie geistige Arbeit" nach Gaudig, "Arbeitsunterricht" nach Kerschensteiner, "Projektmethode", Waldorfschulen etc.).

• Das genetische Prinzip: zunächst historisierend gedeutet als stufenweise Entwicklung des Menschheitswissens, die in der Entwicklung eines Individuums nachzuvollziehen sei bzw. widergespiegelt werde (z.B. bei F. Klein mit Bezug auf das sog. biogenetische Grundgesetz des Zoologen E. Haeckel; vgl. auch Branford 1913)

• Das Postulat der gelenkten Nacherfindung von Freudenthal: Der Zusatz "gelenkt" macht das Konzept geschmeidiger (aber auch vage) und ebnet den Weg für Kompromisse zwischen "Belehrung" (Instruktion) und "Entdeckung" (Exploration, Konstruktion). Das Lenken ist hier Sache des Lehrers, der behutsam seine Schüler davon abhält, allzu mühsame Um- und Irrwege einzuschlagen, die in der geschichtlichen Entwicklung der Mathematik längst überwunden sind.

Fachbezogene Vorteile

In der Mathematik stellt die Beziehung zwischen dem Lernenden und dem mathematischen Wissen ein spezifisches Problem dar, dem ein Unterricht durch Belehrung nicht so leicht gerecht werden kann. Begriffe, Resultate und Verfahren lassen sich zwar (auswendig) lernen, ja selbst ihre Anwendung bis zu einem gewissen Grade antrainieren. Doch ergeben sich Defizite bzw. Gefahren in wenigstens drei Bereichen:

1. Lernwirksamkeit
   Es besteht die Gefahr, dass die Kenntnisse oberflächlich bleiben und schnell verblassen.

2. Transfer
   Über das Gelernte wird häufig nicht flexibel verfügt, was besonders die Lösung von (nicht-standardisierten) Problemen betrifft.

3. Bildungsbeitrag
   Die Chance wird nicht oder zu selten genutzt, den Lernenden an der Entwicklung des mathematischen Inhalts aktiv zu beteiligen und so die "bildende Kraft" des Mathematischen zur Entfaltung zu bringen.

In der Tradition des entdeckenden Lernens hat man sich immer wieder zuversichtlich gezeigt, dass es über die konsequente Nutzung der in Punkt 3 genannten Chance gelingen kann, mathematisches Wissen (Punkt 1) und Können (Punkt 2) dauerhafter und flexibler im Lernenden zu verankern. Ein schöner Nebeneffekt wäre ja auch, dass man das, was man dank eigener Entdeckertätigkeit nun gründlicher weiß und besser kann, auch mehr liebt. Zumindest Mathematiker lieben ihre Wissenschaft aus genau diesem Grund. Möglicherweise tun es andere menschliche Wesen aus eben diesem Grund nicht.

Obwohl im folgenden zahlreiche Kontexte für exploratives Mathematiklernen vorgestellt werden, soll hier ein einfaches Beispiel den praktischen Ansatz dieses Konzepts wenigstens schon einmal andeuten:

Problematisierung, Relativierung

So schön das alles klingt – die Fragen und die Probleme, die mit entdecken(lassen)dem Unterricht verbunden sind, dürfen nicht verharmlost oder verschwiegen werden (vgl. für das Folgende Winter 1991):

• Wie läßt sich ein problemorientierter Unterricht mit hohem Anteil von Phasen entdeckenden Lernens hinlänglich effizient gestalten?

• Auf welche Weise lässt sich die Festigung und Vertiefung des Gelernten durch Üben in einem solchen Unterricht verwirklichen?

• Wie verträgt sich die inhärente Forderung nach individualisierter Kommunikation (Zwiegespräch) über das anstehende Problem mit den Bedingungen eines Klassenzimmers?

• Ignorieren die (häufig als selbstverständlich geforderten oder angenommenen) Tugenden wie Kreativität, Wissensdrang, Ausdauer, Umgang mit Unsicherheit etc. nicht die realen Möglichkeiten der meisten Schüler? Ist es im heutigen Schulalltag zudem nicht eine Illusion zu glauben, eine "Entdeckungsgeschichte" könne im Unterricht genug Interesse erzeugen und Schüler (eventuell über Stunden hinweg) an ein Thema binden? Sind nicht Schüler wie Lehrer gleichermaßen damit überfordert?

• Kann (über einzelne positive Befunde hinaus) ein schlüssiger Nachweis erbracht werden, dass entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht Lernwirksamkeit und Transferleistungen nachhaltig positiv beeinflusst?

In diesen Fragen spiegelt sich auch ein Teil der seitens der Lehrerschaft gezeigten Reserve gegenüber dem geschilderten Konzept. Selbst Optimisten, die daran glauben, dass entdeckendes Lernen in einem "normalen" Unterricht vielen Schülern etwas zu bieten hat, werden in den angedeuteten Problemen doch zumindest die Grenzen ahnen, auf die der Ansatz in der Realität stößt.

Keine Leitidee sollte man zu sehr strapazieren. In diesem Fall: Nicht alles muss selbst entdeckt oder gelenkt nacherfunden werden. Nicht nur sind manche Schüler überfordert, es müssten etliche Stoffe "überaufbereitet" oder gar zurechtgebogen werden. Schließlich würde auf diese Weise auch ein schiefes Bild von Mathematik entstehen – überdies ein perfektionistisches Zerrbild von entdeckendem Lernen. Mathematik ist (auch) ein Wissensspeicher: Zahlreiche der dort anzutreffenden Errungenschaften wurden von den bedeutendsten Gelehrten der Vergangenheit beigesteuert und dürfen als Muster von Erfindungskraft und Scharfsinn gelten. Weshalb sollte man – nicht anders etwa als in den angestammten Domänen der Kultur – den Eindruck erwecken, das alles könnten ebensogut durchschnittliche Kinder und Jugendliche unter der unaufdringlichen Anleitung durchschnittlicher Lehrer aus eigener Kraft entdecken?

Übrigens sind auch engagierte Verfechter entdeckenden Lernens weit davon entfernt, einer solchen tendenziellen Trivialisierung von Mathematik und Mathematiklernen Vorschub zu leisten. Ein schönes Beispiel dafür gibt Pólya im ersten Band von Mathematik und plausibles Schliessen, wo er das ingeniöse Analogieverfahren schildert, mit dem Leonhard Euler die Summe der reziproken Werte der Quadratzahlen entdeckt hat. Pólya macht deutlich, wie das beeindruckende Resultat und der Weg dorthin in allen Einzelheiten verstehend nachvollzogen werden kann. Das Recht auf Verstehen des Verstehbaren wird hier eingelöst. Daran anknüpfend erweitern wir durch "intelligentes Nachahmen" (Pólya) unsere eigenen Möglichkeiten beim selbständigen Lösen von Problemen. Auch Winters ideengeschichtlich verankerter Ansatz legt entdeckendes Lernen in diesem Geiste aus.

Direkte Instruktion

Lernen durch Entdecken und Lernen durch Belehrung sind keine sich ausschließenden Alternativen. Freudenthals "gelenkte Nacherfindung" deutet schon an, wo ein vertretbarer Kompromiss gefunden werden kann, ein je nach Situation gewichtetes Mittel aus beiden Extremen.

Doch auch für sich genommen ist die direkte Instruktion nicht etwa ein von vornherein untaugliches, historisch überholtes Unterrichtskonzept, das notwendigerweise in sturem Pauken des vom Lehrer vorgegebenen Stoffs ausartet. Lernen durch Belehrung findet meist in Form des sog. fragend-entwickelnden Unterrichts statt, ein bis heute praktikabler Ansatz, der aus der Herbartschen Pädagogik stammt und von dem Pädagogen Tuiskon Ziller im 19. Jahrhundert in Gestalt der "fünf Formalstufen des Unterrichtsablaufs" ausgearbeitet wurde. Verstehensprozesse haben darin durchaus ihren Platz. Zudem ist das Konzept ökonomisch: Gegebenes Wissen wird vom Lehrer exponiert, im Dialog erfragt, erklärt, erörtert und anschließend – wieder unter Anleitung des Lehrers – geübt und angewendet. Man wird kaum bestreiten können, dass vieles (wenn nicht das meiste an Faktenwissen) auf diesem oder ähnlichem Weg rezipiert und auch gelernt wird. Wie sollten Kinder z.B. erfahren können, welche Tiere im australischen Busch leben, wenn nicht durch eine wie auch immer geartete Mitteilung? Auch Jugendliche und Erwachsene, die in der Lage sind, ihre Lernarbeit eigenständig zu organisieren, empfinden die direkte Instruktion keinesfalls als Zumutung oder gar Verletzung ihrer Autonomie.

Wir hatten schon gesehen, dass die lernende Beschäftigung mit Mathematik ein genetisierendes Vorgehen verlangt, das die Einsicht in Sachverhalte fördert. Dennoch: Auch im Mathematikunterricht ist ein Verlaufsgerüst und eine darin entworfene Gedankenführung erforderlich, wenn man Desorientierung und Frustrationen im Klassenzimmer vermeiden möchte. Dazu benötigt man wohlüberlegte Unterweisungsphasen. Eine Unterrichtsplanung, die sich auf das bloße Anhäufen von "Lernangeboten" beschränkt, kann das nicht leisten. Das durch Instruktionsentwurf abgesteckte Gelände sollte allerdings noch ausreichend Raum bieten für divergentes Denken, eigenständige Schülerarbeit, exploratives Lernen etc. Wie groß dieser Raum ist, hängt von der gegebenen Realsituation ab.

Anmerkungen zur Lehrerrolle

In den vorangegangenen Abschnitten, die fachdidaktischen Konzepten gewidmet waren, wurde deutlich, dass ein Unterricht, der den Sinn mathematischen Denkens und Tuns nicht verfälscht und zu angemessener Geltung bringt, den Lehrenden vielfältige Kompetenzen abverlangt. Diese Kompetenzen erschöpfen sich bei weitem nicht in einer formalen Beherrschung des schulmathematischen Stoffs sowie eines gewissen Teils der Elementarmathematik. Auf der fachlichen Seite kommen die Bereitschaft und Fähigkeit hinzu, sich mit Mathematik als geistigem Prozess, als Anwendungswissenschaft, als kulturellem und geschichtlichem Phänomen aktiv auseinanderzusetzen. Auch auf der pädagogischen Seite steht eine lange Wunschliste. Sie beginnt bei der Einbildungskraft, die nötig ist, um Lernverläufe zu mathematischen Themen zu entwerfen, geht über die konstruktiven Fertigkeiten der Unterrichtsvorbereitung (und der darin eingeschlossenen Anwendung methodischer Regeln) bis hin zu dem Vermögen, realen Unterricht praktisch durchzuführen.

Schon die Skizze dieses beeindruckenden Panoramas zeigt: Lehrer und Lehrerinnen brauchen ein hohes Maß an Professionalität, um Mathematikunterricht erteilen zu können. Sie haben es mit einem in jeder Hinsicht – auch in seinen scheinbar einfachen Elementen – anspruchsvollen Fach zu tun. Sie sind dabei für das gemeinschaftliche Lernen im Klassenzimmer ebenso verantwortlich wie für den Lernfortschritt einzelner Schüler, was eine schwierige Balance zwischen direkter Unterweisung und eigenständigem Lernen durch Entdeckenlassen verlangt. Die so aufgefasste Berufstätigkeit lässt sich treffsicher durch den Titel kennzeichnen, den Freudenthal seinem inzwischen klassisch gewordenen Werk gab: Mathematik als pädagogische Aufgabe.

Diese vom Fach und von seinem Erziehungspotential her verstandene Lehrerrolle ist schon seit längerem unter Druck geraten. Es begann scheinbar harmlos (in den 1970-er Jahren) damit, im Lehrer vor allem einen Initiator und Organisator von Lernprozessen zu sehen. Die Zurücknahme von unterrichtender und pädagogischer Einwirkung ist noch steigerungsfähig, etwa nach der gelegentlich zu hörenden radikalen Devise "Konstruktion vs. Instruktion". Dies wäre allerdings ein schwarzweißes Wunschbild von Lernprozessen und würde den Lernbedürfnissen von Schülern, vor allem der schwächeren, nicht gerecht. – Die Gegenrechnung wird dann aber in der gesellschaftlichen Realität aufgemacht. Manches von dem, was dort vorschnell und wohlfeil als "Versäumnis" von Pädagogik und Schule beklagt wird, erscheint durchaus mit einer Bildungspolitik kompatibel, in deren Fahrwasser das Lehramt fachlich und pädagogisch immer mehr abgesunken ist. Viele Gründe mag es dafür geben, dass (heute vielleicht weniger als ehedem) der Lehrerberuf kein sonderlich gutes Ansehen genießt und die Arbeit von Lehrern in der Öffentlichkeit häufig gereizt beurteilt wird. Dabei tragen die paradoxen Erwartungen und Forderungen, denen sich Lehrer in der gegenwärtigen Situation ausgesetzt sehen, gewiss das ihre dazu bei. Einmal sieht es so aus, als schaue man sich zuerst unter Lehrern um, wenn ein Sündenbock für die mancherlei Mißstände bei der Jugend gesucht wird. Gleichzeitig lädt man ihnen die Bürde von sozialen Heilsbringern auf, die gesellschaftlich bedingte Fehlentwicklungen in der Schule ausgleichen sollen: Folgen übermäßigen Fernsehkonsums, Folgen von Ehescheidungen, Verwahrlosung, Gewaltbereitschaft unter Jugendlichen, u.v.a.m. Lehrer erhalten – und übernehmen (!) – angesichts solcher sich auftürmender Probleme notgedrungen immer mehr Zuständigkeiten; gleichzeitig entzieht man ihnen aber – dem Trend wachsenden öffentlichen Argwohns folgend – immer mehr Befugnisse.

Lutz Führer ruft in seiner zupackenden kritischen Analyse dieser Verhältnisse eine simple Tatsache in Erinnerung: "Zu allererst ist der Lehrer Arbeitnehmer, wie jeder andere lohnabhängige Berufstätige auch" [Führer 1997, S. 144] – und es ist hinzuzufügen: auch ein Mensch wie jeder andere.

Ergänzende Materialien

• Zum Begriff "Entdeckendes Lernen" (Winter)
• Fertige Mathematik und Mathematik als Tätigkeit (Freudenthal)
• Vermittlung intelligenten Wissens (Weinert)
• Über die Ausbildung der Mathematiklehrer (Gnedenko)
• Zur Lehrerrolle in der heutigen Schulwirklichkeit (Führer)