8
Methodische Bausteine zur Unterrichtsgestaltung

• Keine Patentrezepte
• Welche Idee von Unterricht liegt zugrunde?
• Didaktische Prinzipien: methodische Bausteine zur Unterrichtsgestaltung
• Ergänzende Materialien

Keine Patentrezepte

Unterrichtsprozess und Lerninhalt sind vielfältig aufeinander bezogen, und zumindest in der Mathematik ist es ratsam, den Unterricht vom Fach (genauer: von der inhaltlichen Seite) ausgehend zu konzipieren. Dennoch lassen sich einige wichtige Fragen zur Gestaltung von Mathematikunterricht auf sinnvolle Weise untersuchen, ohne jedesmal einen speziellen Lernstoff zu unterlegen. Eine gleichsam 'natürliche' Grundlage dafür bildet die wissenschaftliche Erforschung der sich im Unterrichtsgeschehen überlagernden Prozesse. Vor allem folgende Bereiche gilt es dabei zu berücksichtigen: 

• die Stufe der kognitiven Entwicklung
• die Gesetzmäßigkeiten des Lernens
• die Lehrer-Schüler-Interaktionen

Im Idealfall werden aus den Resultaten, die man hierzu findet, praktische Regeln abgeleitet, die Lehrenden helfen sollen, ihren Unterricht zu verbessern.

Anmerkung. Ein solches Unternehmen ist schwierig schon allein deshalb, weil man auf der wissenschaftlichen Seite nur selten (oder gar nicht) Einigung über Rahmentheorien erzielt, die stark und präzise genug wären, um stabile praxisrelevante Folgerungen zuzulassen. Ein bekanntes Beispiel dafür ist die Entwicklungspsychologie von Jean Piaget. Als naturwissenschaftliche Theorie ist diese in mancher Hinsicht unsicher; aber auch ihre Anwendung auf die Pädagogik, speziell die des Mathematikunterrichts, ist keineswegs unumstritten; vgl. etwa Freudenthal 1973 [S. 295-308], Bender/Schreiber 1985 [S. 254-261]. Eine weitere Schwierigkeit besteht darin, dass es häufig nur zu Ansätzen von Theorien kommt. Aus ihnen kann (und sollte) man konkrete Handlungsanweisungen nicht vorschnell ableiten. Schließlich stoßen wir auf ein drittes, normatives Problem: Wenn die Meinung herrscht, Unterricht könne durch diese oder jene Methoden verbessert werden, so sollte dies nachprüfbar sein. Aber wie soll der bessere Unterricht von dem weniger guten unterschieden werden? Die Sache ist nicht aussichtslos. Freilich ist sie heikel, wenn sich verschiedene Arten und Intentionen von Unterricht gegenüberstehen.

Neben der wissenschaftlich geleiteten Grundlagenforschung (und in engem Zusammenhang mit ihr) gibt es eine weitere Quelle praktischer Regeln: die pädagogische Erfahrung. Sie entwickelt sich aus der Unterrichtpraxis, braucht allerdings auch eine Reflexion des dort stattfindenden Handelns vor dem Hintergrund einer Idee von Unterricht. Die Handlungsanweisungen, die man auf diesem Weg gewinnt, sind überwiegend intuitiv begründet und nicht selten etwas unscharf. Dennoch gehören sie zum (durchaus erlernbaren und brauchbaren) pädagogischen "Handwerk".

Regeln, ob nun aus wissenschaftlicher Forschung oder pädagogisch-praktischer Erfahrung gewonnen, wurden und werden häufig als sog. didaktische Prinzipien formuliert und eingebürgert. Hier soll der Stellenwert solcher Prinzipien durch die Bezeichnung "methodischer Baustein" ein wenig relativiert werden. Ein Baustein ist kein umfassendes Konzept, und erst recht kein Patentrezept.

Welche Idee von Unterricht liegt zugrunde?

Ohne eine grundsätzliche Vorstellung davon, wie "guter", erfolgversprechender Mathematikunterricht aussehen sollte, kann man kaum an die Einzelfragen zu seiner Gestaltung herangehen. Diesbezügliche Konzepte hängen unter anderem ab

• von der Schülern und Lehrern zugedachten Rolle
• vom Bild, das man sich von der Mathematik bzw. mathematischen Tätigkeit macht
• von den allgemeineren Zielen des Mathematikunterrichts

Unsere früheren Überlegungen haben gezeigt, dass allzu einseitige Ausrichtungen in eine Sackgasse münden. Ein betont expositorischer Unterrichtsstil, der nur auf direkte Instruktion setzt, zeichnet ein ebensolches Zerrbild wie – am anderen Ende der Skala – die Vorstellung eines Klassenzimmers, in dem die Lernenden sich überwiegend selbst organisieren (müssen). Ähnlich steht es mit der Frage, welchen Raum problemlösendes, entdeckendes Lernen im Unterrichtsgeschehen einnehmen soll bzw. überhaupt kann. Statt diese Frage pauschal zu beantworten, hat man sie in einem Spannungsfeld zwischen Lernen durch Belehrung und Lernen durch Entdecken immer wieder neu (und situationsabhängig) zu entscheiden. Auch eine Forderung wie die nach "Anwendungsorientierung" mag in dieser Hinsicht missverständlich sein. Ist mit ihr gemeint, man habe darauf zu achten, die im Mathematikunterricht behandelten Themen ständig durch einen Anwendungsbezug zu rechtfertigen? Erst recht bei den normativen Aspekten – hier der Frage, welche Ziele wir durch Mathematikunterricht anstreben sollen – sind einseitige Festlegungen problematisch. Wer sich auf einen Lehrberuf in Mathematik vorbereitet, möchte verständlicherweise eine klare und definitive Antwort auf die Frage: Wodurch zeichnet sich guter Fachunterricht aus? Einfach und rezepthaft lässt sich das – leider (oder eher gottseidank) – nicht sagen. Sucht man nach 'ausgewogenen' Formulierungen, so klingt das Ergebnis meist reichlich tautologisch wie Ratschläge von der Art: man nehme die "richtige" Mischung ... Auf einer allgemeinen Ebene ist kaum mehr zu erwarten; man muss sich eben auf die Einzelheiten einlassen.

Oft ist es leichter, den Erkenntnisgegenstand negativ zu bestimmen, hier: der Frage nachzugehen, welche Fehler (auf Seiten der Lehrenden und derer, die es werden wollen) die Qualität des Mathematikunterrichts beeinträchtigen können. Auch wenn es naiv und zweifelhaft wäre zu glauben, gute Ergebnisse ließen sich einfach dadurch erzielen, dass man diesen oder jenen speziellen Fehler vermeidet, so kann es doch hilfreich sein, stillschweigende allgemeine Vorstellungen und Haltungen bewusst zu machen, die einer sinnvollen lernenden Beschäftigung mit Mathematik im Wege stehen. Dieser Hintergrund verdient unsere besondere Aufmerksamkeit, da er durch den Mathematikunterricht, den jeder selbst erlebt (hat), immer wieder reproduziert wird.

Zu den Haupthindernissen dieser Art gehören:

• Diverse Vulgärvorstellungen vom Fach, vor allem die unangemessene Idee, Mathematik sei in erster Linie eine Art Rechnen, durch formalistische Regeln und Rituale gekennzeichnet, an ein starres Richtig/Falsch-Konzept gebunden, und dgl. mehr.

• Die verbreitete Meinung, der Mathematikunterricht sei nicht von seinem fachlichen Gehalt her zu bestimmen, sondern gründe sich auf eine Art inhaltsneutrales oder gar 'fachfreies' Unterrichtenkönnen, kombiniert mit einem Kleinstvorrat schulmathematischer Elemente (womöglich die aus der eigenen Schulzeit).

• Die Tendenz, die eigene Qualifikation als Lehrer(in) auf eine bloß faktisch verstandene Unterrichtspraxis einzuengen, die keine pädagogische oder geistesgeschichtliche Perspektive einschließt und den Mathematikunterricht, den man selbst erlebt hat, unreflektiert fortschreibt ("Gefahr naiver und unmündiger Praxisverhaftung" nach Winter 1989).

Didaktische Prinzipien: methodische Bausteine zur Unterrichtsgestaltung

Die Prinzipien, die hier als methodische Bausteine vorgestellt werden, sind drei grundlegenden Bereichen des Unterrichts zugeordnet:

1. Exposition des Unterrichtsthemas
   (Wecken von Interesse, "motivierender Einstieg", Finden und Formulieren von Fragen)

2. Gewinnen von Einsicht und Erkenntnissen
   (Beobachten, Experimentieren, Vermuten, Widerlegen, Begründen, Präzisieren, usw.)

3. Konsolidierung des Gelernten
   (Herstellen von Zusammenhängen, Transfer, Anwenden, Üben)

Exposition des Unterrichtsthemas

Der Begriff Exposition soll hier nicht auf den Beginn von Unterrichtsstunden eingeschränkt bleiben, sondern bezieht sich auf alle Phasen, in denen Probleme/Aufgaben, Arbeitsaufträge und damit verbundene Sachvorstellungen an die S. (=Schüler/innen) herangetragen werden.

Idealerweise erfüllt der gewählte Sachkomplex einige Eignungskriterien:

• Er ist nicht völlig neu und knüpft an Vorerfahrungen, Vorkenntnisse (oder zumindest den Vorstellungskreis und die Lebenswelt) der S. an ("Redundanzprinzip")

• Er ist nicht völlig bekannt, sondern weist noch ausreichend problemhaltige Aspekte auf, die zum Fragen und Nachdenken herausfordern.

• Er steht nicht isoliert da und enthält reichhaltige Beziehungen zu inner- und außermathematischen Problemen, Ideen und Sachverhalten.

• Sein mathematischer Kern entpuppt sich nicht als belangloses, nebensächliches oder gar esoterisches Lehrstückchen, sondern als "grundlegende", wesentliche Idee ("Prinzip der zentralen Ideen")

• Er ist kein kurzlebiger "Aufhänger" für den "motivierenden Einstieg", sondern trägt auch die Durchführung des Themas über längere Strecken.

Zugegebenermaßen stellt das Prinzip der angemessenen Herausforderung den L. (=Lehrer/die Lehrerin) vor eine alles andere als triviale Aufgabe. In der Praxis kann man nicht nur die Rosinen herauspicken, die in der Literatur immer wieder als schön geglättete Entdeckungsgeschichten auftauchen. Auch das 'tägliche Brot' gilt es zu verteilen, und dabei ist es wenig überzeugend, wenn nach kurzem Strohfeuer ("Motivation") das altbekannte graue Einerlei wiederkehrt.

Mit dem Prinzip der angemessenen Herausforderung verwandt ist Pólyas Grundsatz der besten Motivierung. In Anspruch und Formulierung tritt dieses Prinzip ein wenig pragmatischer und schlichter auf. Das Interesse am Stoff ist gewiss der beste Antrieb zum Lernen. Ist das nicht zu erreichen, muss man sich mit anderen (und möglichst noch annehmbaren) Motiven begnügen.

Gewinnen von Einsicht und Erkenntnissen

In diesem Bereich kommen vor allem Mittel der Heuristik zum Zuge.

Eines der wichtigsten und fruchtbarsten Prinzipien ist die

Beispiele:

• Realisierung einer Parallelen durch gleichabständige Bewegung mit dem eigenen Körper; die zugehörige geometrische Zeichnung; die Auffassung der Parallelen als Menge aller Punkte, die von der/einer gegebenen Figur gleichen Abstand haben
  Vgl. hierzu die Aufgabe Meilenzonen

• Darstellung der binomischen Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² als zerlegtes Quadrat der Seitenlänge a + b

• Wiedergabe von 1 + 2 + ... + n durch eine geeignete Punktfigur oder ein Rechteck mit den Seiten n und n + 1 (durch eine "Treppe" in zwei kongruente Hälften zerlegt)
  

• Negative Zahlen als Schulden oder Temperaturen

Mit unterschiedlichen Repräsentationsformen kann der Entwicklungsstufe der S. entsprochen werden, aber auch einer schrittweisen Vertiefung und Durcharbeitung von Problemsituationen. Es ist hingegen weder möglich noch sinnvoll, in jedem Fall nach einer krampfhaften Ausfüllung der Trias "enaktiv — ikonisch — symbolisch" zu suchen.

Zur Variation der Darstellung gehören aber auch und vor allem Veränderungen, die sich innerhalb einer Repräsentationsform abspielen. Am Beispiel der Parallelen: die Wahl verschiedener Formen und Größe der Ausgangsfigur (Insel). Eine solche Veränderung begünstigt nicht nur eine neue Wahrnehmung der Situation (durch den Lernenden). Bedeutsam ist vor allem die Frage, ob und wie sich die Veränderungen auf andere Elemente der Situation (des Problems) auswirken. Gerade diese Frage ist dazu geeignet, neue Einsichten (in eine Invarianz, eine bis dahin noch unentdeckte Symmetrie) zu gewinnen. Häufig ist es aufschlussreich, Grenzfälle zu betrachten (die Insel zieht sich auf einen Punkt zusammen).

3 - Konsolidierung des Gelernten

Unterricht soll nicht nur Lernprozesse in Gang setzen, sondern auch dauerhaftes Lernen bewirken. Bei der Konsolidierung des Gelernten lässt sich der Aspekt der Stabilisierung von dem der Flexibilisierung unterscheiden. Wissen wird stabilisiert, indem man es in schon vorhandene Strukturen integriert und von Zeit zu Zeit für seine Weiterentwicklung und innere Differenzierung sorgt.

Die beiden folgenden Prinzipien sind dieser Aufgabe gewidmet:

Beispiele:

• Division mit Rest, Restklassen — Rechnen mit Datum und Uhrzeit

• Parallelität, Parallellinien — Durchfahren einer Kurve (Auto, Zug)

• Proportionalität — "Dreisatz", lineare Funktion

• Teilbarkeit (durch 3, 9, 11) — (endliche) geometrische Reihe

• Kreiskegel (bzw. Kegelstumpf) — Zweckform des Blumentopfs

Mit Hilfe des Integrationsprinzips lassen sich die Nachteile einiger traditioneller Methodengrundsätze ausgleichen (z.B. Schwierigkeiten isolieren, in kleinen und kleinsten Schritten lernen).

Der von dem amerikanischen Psychologen J. Bruner in diesem Zusammenhang benutzte Terminus "Spirale" meint eigentlich eine räumliche Schraubenlinie, die mit jeder Windung eine höhere Stufe erreicht. Die Ganghöhe dürfte im allgemeinen größeren Zeitabschnitten entsprechen. Das Spiralprinzip lässt sich somit als eine globale (auf das Curriculum als Ganzes bezogene) Regel auffassen. Offenbar erscheint ein Stoffelement in der ersten Windungen der "Spirale" noch nicht in seiner ausgereiften, sondern in einer vorläufigen, kontextgemäß vereinfachten Form. Mit jedem neuen Durchgang wird diese weiter ausgebaut und differenziert. Dass man mit der Behandlung eines Wissensgebiets in günstigen Fällen schon früh beginnen kann, war auch der traditionellen Rechendidaktik geläufig ("Prinzip des vorwegnehmenden Lernens").

Beispiel (Teilbarkeit):

1. Aufteilen von Dingen; Rechtecke mit Plättchen legen
2. Division ganzer Zahlen mit Rest
3. Abtragen von Strecken
4. Relation "a teilt b", allgemeine Division mit Rest
5. Ausweitung: z.B. Polynomdivision
6. Euklidische Ringe

Wissensstrukturen benötigen zur Stabilität zugleich ein Mindestmaß von Beweglichkeit (Flexibilität). Zum einen muss das Gelernte anwendbar sein, d.h. vom S. auf bestimmte Sachsituationen und -aufgaben übertragen werden können (Transfer). Zum anderen ist dafür zu sorgen, dass die Begriffe und Operationen ein "in sich bewegliches" Gefüge bilden. In den beiden folgenden Prinzipien wird dies etwas näher erläutert:

Beispiel: Eine typische Problemsituation, die zu übendem Umgang mit dem Satz des Pythagoras führt, ist die (von Winter vorgeschlagene) Aufgabe Steigung einer Straße.

Dieses sogenannte "operative Prinzip" (von Fricke und Aebli in den 1960er-Jahren aufgestellt) beruht auf den Vorstellungen Piagets von den Entwicklungsstufen der Intelligenz beim Kinde. Es zielt auf die Beweglichkeit des Denkens, die im Zuge der Verinnerlichung von konkreten zu formalen Operationen erreicht werden soll. Piaget hat die mathematischen Operationen (und die ihnen zugrunde liegenden "konkreten" Handlungen) in enger Anlehnung an den Gruppenbegriff der Mathematik beschrieben. Danach bilden sie im Stadium der Beweglichkeit eine "Gruppierung" mit drei grundlegenden Eigenschaften:

1. Reversibilität
   Eine Operation kann rückgängig gemacht werden. - Beispiele: Zu der Rechnung 3 × 6 = 18 können auch die Probeaufgaben 18 : 3 = 6, 18 : 6 = 3 gelöst werden. Entsprechend gehört zur Verdopplung einer Strecke ihre Halbierung, zu einer Drehung die inverse Drehung, usw.

2. Kompositionsfähigkeit (Verknüpfbarkeit)
   Aufgrund dieser Fähigkeit lässt sich eine Aufgabe lösen, die in Teile zerlegt ist, wobei die Operationen, die zu den Zwischenschritten gehören, miteinander zu einer (neuen) Gesamtoperation verknüpft werden.
   
   Zwei Beispiele:
   a) Die Multiplikation 5 × 14 wird zerlegt in die Aufgaben: 5 × 10, 5 × 4, 50 + 20.
   b) Die Parallele zu einem Dreieck baut sich aus drei Strecken auf, die kongruent zu den Dreiecksseiten sind, sowie drei Kreisbögen, die sich zu einem Vollkreis schließen.

3. Assoziativität
   Liegt eine im mathematischen Sinn assoziative Operation vor, ergeben sich "Umwegaufgaben" wie diese:
   5 × 14 = 5 × (10 + 4) = 50 + 20 = 70
   5 × 14 = 5 × (2 × 7) = (5 × 2) × 7 = 10 × 7 = 70

Es bleibe dahingestellt, ob flexibles Denken durch die hier genannten formalen Eigenschaften angemessen beschrieben wird. Einiges darin erscheint wohl einleuchtend, vor allem die Reversibilität, die typisch für mathematisches Denken ist: Probe beim Gleichungslösen, Rückwärtsarbeiten als heuristische Strategie, Umkehrung aller Arten von Operationen, Schlüssen und Transformationen (z.B. der Differentiation im Hauptsatz der Infinitesimalrechnung), etc. Wichtiger als die Verknüpfbarkeit selbst ist die geschickte Zerlegung einer Aufgabe in Teilaufgaben (Fallunterscheidung, heuristische Strategie der Superposition).

In der Praxis wird das "operative Prinzip" häufig pragmatischer gehandhabt als die vorangegangene, etwas formalistisch anmutende Manifestation vermuten lässt. Es läuft dann in etwa auf einen Grundsatz hinaus, den ich hier Prinzip der produktiven Problementfaltung nennen und wie folgt formulieren möchte:

Ein Sonderfall dieses Prinzips ist das Prinzip der Objekterkundung, demzufolge interessante (!) mathematische Objekte frei zu erkunden sind (als Grundlage für Transferprozesse sowie die Reorganisation von Wissen). Mögliche Objekte, die sich dazu anbieten, sind beispielsweise:

Würfel Pyramide reguläres Fünfeck Dodekaeder Parabel Schneeflockenkurve die Zahl p u.v.a.m.

Ergänzende Materialien