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Planung und Vorbereitung von Unterricht

• Vorbemerkungen
• Ein Gerüst zur Unterrichtsvorbereitung und -planung
• Skizze eines Unterrichtsbeispiels
• Ergänzende Materialien

Vorbemerkungen

Neben dem Unterrichten selbst ist die Vorbereitung und Planung von Unterricht eine der Haupttätigkeiten des Lehrers (L.). Im Folgenden sollen die damit verbundenen Teilaufgaben im Zusammenhang betrachtet werden. Als Hilfsmittel dient ein Gerüst mit einer Reihe von Leitfragen. Die theoretische Vertiefung der zugehörigen Einzelaspekte wird hier nicht durchgeführt; sie lässt sich aus den übrigen Abschnitten dieser "Grundzüge der Mathematikdidaktik" gewinnen (vor allem aus den Prinzipien zur Unterrichtsgestaltung).

In der hier dargestellten Sicht ist das Kernstück der Unterrichtsvorbereitung die fachdidaktische Analyse. Der Unterricht in verschiedenen Fächern hat zwar einiges gemeinsam, doch reichen allgemein-didaktische (oder pädagogische) Orientierungen nicht aus, wenn man das Fach Mathematik vernünftig unterrichten möchte. Mathematikunterricht hat ein Thema, es geht um eine Sache, die entfaltet werden soll. Das bedeutet nicht, dass wir nicht zugleich auch vom Schüler (S.) und seinen Möglichkeiten ausgehen. Wie beim Bau einer Brücke nähert man sich von zwei Seiten.

Die hinzugefügte Skizze eines Unterrichtsbeispiels (zum Thema "Parallelität") dient vor allem zur Konkretisierung der allgemeinen Regeln und Fragen. Diese sind nicht neu, sondern in pädagogischer Praxis bewährte Handlungsanweisungen.

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Ein Gerüst zur Unterrichtsvorbereitung und -planung

Es wird ein dreiteiliges Schema vorgestellt, das Lehrer(innen) bei der Vorbereitung und Planung von Unterrichtseinheiten (beliebigen Umfangs) unterstützen soll:

1. Fachdidaktische Analyse
2. Analyse der Randbedingungen
3. Planung des Unterrichtsverlaufs

Vor und während der Arbeit an Unterrichtsentwürfen ist es zweckmäßig, sich in der Art eines Gedankenexperiments den S. als Gesprächspartner zu vergegenwärtigen. Eine dialogische Situation begünstigt die Erzeugung und Bewegung von Gedanken, Vorstellungen. Auch findet sich der sprachliche Ausdruck leichter. — Auf der sachlichen Seite ist nicht allein die Richtigkeit, sondern auch die Stimmigkeit im Auge zu behalten. Man sollte jedes Stück Mathematik, das im Unterricht Eingang findet, daraufhin befragen, ob es Sinn macht.

Die fachdidaktische Analyse vereinigt die herkömmliche Sachanalyse und die didaktische Analyse im engeren Sinn. Natürlich ist es in der Praxis unerlässlich, den fachmathematischen Hintergrund des Unterrichtsthemas zu kennen bzw. eingehend zu studieren. Es ist dringend zu empfehlen, sich dabei bald auf das Verhältnis von Lerngegenstand und S. auszurichten und die eigentliche Sachstruktur aus didaktischer Sicht zu entfalten. In Unterrichtsentwürfen für Schulpraktika findet man häufig, dass eine abgetrennte Sachanalyse isoliert bleibt oder sogar nur in einem kargen Abschrieb aus einem Lehrbuch (oder gar Konversationslexikon) besteht. Es ist auf Dauer schädlich, wenn "Mathematik im Klassenzimmer" ein von der Fachmathematik, die man an der Hochschule lernt, abgeschottetes und beziehungsloses Eigendasein fristet. Ein gutes Mittel, dem entgegenzuwirken, ist die fachdidaktische Durchdringung des Lehrstoffs.

Abschließend einige Hinweise, die es erleichtern sollen, das obige dreistufige Schema richtig aufzufassen und anzuwenden:

• Der Fragenkatalog versteht sich als ein offener Entwurf. Man kann/sollte ihn weiterentwickeln bzw. an die eignen Bedürfnisse anpassen.
• In vielen Fällen muss man die Schritte wiederholt durchgehen, da sich bei der Planung einzelner Unterrichtsabschnitte neue sachliche Gesichtspunkte ergeben können.
• Flexible Handhabung ist erforderlich: nicht für jedes Thema und nicht in jeder Situation sind alle Fragen passend oder von gleichem Gewicht.

[Quelle: H. Winter: Grundfragen des Mathematikunterrichts (Manuskript einer Vorlesung: Neuss, Wintersemester 1976/77)]

Skizze eines Unterrichtsbeispiels

Anhand des Themas "Parallelität" soll hier die Anwendung des eben behandelten Planungsschemas demonstriert werden. Als Grundlage dienen die ausführlichen Analysen bzw. Entwürfe in folgenden Arbeiten (chronologische Folge):

Die Vorbereitung eines Themas (insbesondere der fachdidaktische Teil) dürfte nur selten so vonstatten gehen, dass man einen Fragenkatalog systematisch abarbeitet. Die Fragen helfen aber, auf die richtigen Dinge zu achten und schließlich auch, die Arbeitsergebnisse zu ordnen.

Fachdidaktische Analyse

Beschäftigt man sich intensiv mit einem Sachkomplex, wird man zunächst einmal vorhandene Quellen recherchieren, sich ein wenig einlesen, der einen oder anderen Fragestellung nachgehen, Figuren zeichnen, Modelle basteln, sich Notizen machen, seine reale Umgebung (mit anderen Augen) beobachten, sich mit Leuten unterhalten, usw. Das Gerüst der fachdidaktischen Analyse wird am Ende dieses Prozesses gefüllt (hier nur in knapper Form):

Stellung im Ganzen des Schulstoffs

Parallelität bzw. Parallelen tauchen spätestens ab Klasse 7 in den Lehrplänen auf, häufig im Zusammenhang mit der Senkrecht-Relation. Parallelen werden früh mit dem Winkelbegriff verbunden (Wechsel- und Stufenwinkel an Parallelen), sie erscheinen in diversen Standardfiguren (Parallelogramm, Trapez, ...). Weitere wichtige Bezüge: Translation als geometrische Abbildung (Parallelverschiebung der Ebene), Strahlensätze.

Mit dem Thema verbundene Grundideen

Ein nomineller Bezug auf "fundamentale Ideen", die üblicherweise auf dem didaktischen Markt gehandelt werden, ist auf den ersten Blick nicht herzustellen. Gleichwohl schälen sich bei genauerem Hinsehen das das eine oder andere zentrale Konzept heraus:

• Invarianz (der Längendifferenz paralleler Kurven), vgl. [1], [3];
• Proportionalität (von Umfang und Radius beim Kreis), vgl. [4]; auch bei anderen Parallelfiguren.

Für die Entwicklung der modernen Mathematik (insbesondere der axiomatischen Methode) bedeutsam: das Problem des Parallelenaxioms (Euklids 5. Postulat), das aber nicht mehr im Rahmen des Schulstoffs (der Sekundarstufe I) liegt. Die zweitausendjähige Historie des Problems ist ideengeschichtlich von überragender Bedeutung.

Der Begriff "parallel" lässt sich auf verschiedene Weisen definieren:

• als Nicht-Inzidenz,
• als Richtungsgleichheit.
• als Abstandsgleichheit.

Die einfachste Erklärung ist die, wonach zwei Geraden parallel sind, wenn sie sich nicht schneiden. Dieser Begriff hat einen Mangel an Gehalt und erscheint realitätsfern. Natürlicher wirkt die Vorstellung, daß Parallelen in gleicher Richtung verlaufen, d.h. eine (andere) Gerade unter demselben Winkel (Stufenwinkel) schneiden. Parallelen haben aber auch überall den gleichen Abstand voneinander (zumindest in der euklidischen Geometrie). Diese Relation der Abstandsgleichheit steht im Mittelpunkt der weiteren Betrachtungen.

Voraussetzungen

Abstand zwischen zwei Punkten (realisiert durch eine Strecke), zwischen Punkt und Gerade (hier braucht man die Senkrechte); Winkelbegriff und Winkelsummensätze (Dreieck, Viereck); Kreis-Definition und -Konstruktion.

Vorher oder im Zusammenhang mit dem Thema zu erarbeiten: Kreisumfang (proportional zum Radius bzw. Durchmesser); evtl. Abstand zwischen Punkt und Kreis.

Beziehungen zu anderen Stoffen

Parallelität als Abstandsgleichheit schließt Nicht-Inzidenz und Richtungsgleichheit ein; sie ist auch nicht mehr auf Geraden(stücke) beschränkt (z.B. sind auch konzentrische Kreise äquidistant). Beziehungen bestehen u.a. zu folgenden Themen: Winkel, Winkelsummensätze, elementare Differentialgeometrie (Evolute, Evolvente), konvexe Figuren und Körper.

Anwendungen

Bau von Mauern, von Regalen, usw.
Durchfahren von Kurven (Pkw, Eisenbahnwagen).

Rechtfertigung im Hinblick auf allgemeinere Ziele des Mathematikunterrichts

Das Thema eignet sich in hohem Maße dazu, Geometrie als Mittel zum Verständnis der räumlichen Wirklichkeit zu begreifen und anzuwenden; es verhilft damit zur Erschließung der Umwelt (Lebenswelt der S.).

Die Planung einzelner Unterrichtsabschnitte macht ersichtlich, dass im Zusammenhang damit die Entwicklung zeichnerischer und manueller Fertigkeiten gefördert wird (Herstellen von Modellen).

Vorerfahrungen der S., an die sich anknüpfen lässt

Das Wort "parallel" ist griechischen Ursprungs und bedeutet soviel wie "gleichlaufend". Zahlreiche Phänomene des Alltags liefern dazu passende Vorerfahrungen: Historische Parallelen — parallele Ereignisse — parallele Stimmführung in der Musik — Schlitten im Schnee — Bewegungsspuren von Autorädern — Schienen von Straßen- und Eisenbahn — Schwimmbahnen — Laufbahnen im Stadion — Regale — Jalousien — Lamellen — Papierstreifen — kariertes Papier — Druckzeilen in einem Buch — Schießscheiben (konzentrische Kreise) — räumlich parallele Flächen (Zwiebelschalen, ineinandergeschachtelte Babuschkas) — Fischfangzonen längs einer Küste — u.a.m.

Geeignete Zugänge, Aufgaben und Probleme

Von den oben genannten Vorerfahrungen ausgehend lassen sich zahlreiche Zugänge und Einstiegsprobleme formulieren. Hier sind drei mögliche Aufgaben:

1. Das Band um den Erdäquator
   Angenommen, ein Band würde um den Äquator der Erde gelegt. Nun wird das Band um 1 m verlängert und danach wieder zu einem Kreis gespannt (parallel zum Äquator). Wie groß ist seine Lupfhöhe, d.h. welchen Abstand hat das Band vom Äquator? Was könnte wohl unter dem Band herkriechen? Eine Ameise, eine Maus, ein Hund? Die Anschauung scheint uns hier im Stich zu lassen. Was macht 1 m gegenüber 40 000 000 m aus? (Wird das Problem neubewertet, wenn man sich das Band um 10 m verlängert denkt?)

2. Wettläufe auf der Stadionbahn
   In manchen Fällen, z.B. beim 400 m-Lauf, bewegen sich die Wettkämpfer in parallelen Bahnen. Auf inneren Bahnen ist der Weg kürzer, so dass außen laufende Konkurrenten einen Vorsprung erhalten müssen. Aber welchen? Gibt es zwischen verschiedenen Nachbarbahnen auch verschieden große Vorsprünge?

3. Eine Zwölf-Meilenzone für Piscinien
   Die Regierung des Inselstaates Piscinien verordnet zum Schutz der nationalen Fischerei eine Zwölf-Meilenzone. Piscinien besitzt eine mehr oder weniger zerklüftete Küste und beauftragt nun eine Kommission von Landvermessern, Topographen und Geometern mit der Findung der geforderten Grenzlinie.

Die drei Zugänge liegen auf verschiedenen Niveaus und bieten spezifische Möglichkeiten der Sacherkundung durch die S. Die angedeuteten Situationen sind mehr als isolierte "Einstiegsbeispiele", sie besitzten ein Erkenntnispotential, das im Unterricht entfaltet und begrifflich erarbeitet werden sollte.

Aufgabe 1 kann auch für sich genommen und z.B. im Zusammenhang mit der Kreislehre behandelt werden. Besonderer Vorteil: das Überraschungsmoment steht in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Erkenntnisziel, der Proportionalität von Umfang und Radius beim Kreis (und der daraus sich ergebenden Invarianz der Umfangsdifferenz). Verpackt man sie als Gedankenexperiment, stört die Realitätsferne der Aufgabe nicht. Eine fachdidaktische Analyse vor dem Hintergrund der linearen Funktion gibt Winter 1991, S. 163-165.

Aufgabe 2 liefert nicht nur eine geometrisch reichhaltige Sachstruktur, sondern bietet interessante Möglichkeiten der Umwelterschließung. Welche Form und Abmessungen hat eigentlich die gewöhnliche Stadionbahn (Leichtathletik-Kampfbahn)? Hier gibt es meist recht unsichere Vorstellungen. Interessante, auch überraschende Ergebnisse gewinnt man durch Fragen wie diese: Wo liegt die 100 m-Strecke? Wo hat im Innern der Anlage ein Fußballfeld Platz (das ja über 100 m lang ist)? Welche Vorsprünge erhält man im Wettkampf über 400 m in Bahn 2, 3, 4, usw.? — Nähere Details sind ausgearbeitet in [1], [2], [3].

Aufgabe 3 vermittelt ebenfalls einen Bezug zur Realität. Die Diskussion des Problems wird erleichtert, wenn man zunächst einmal künstlich annimmt, die fragliche Insel sei ein Kreis, ein Quadrat, ein Dreieck, ein konvexes Viereck usw., schließlich nicht-konvex (Einbuchtungen vorhanden). Der allgemeine Fall ist hier etwas raffinierter (Parallelen erscheinen als Einhüllende), aber zeichnerisch reizvoll (vgl. [3]).

Grad der Vereinfachung

Solange Parallelen zu Geraden, Kreisen und Vielecken konstruiert und untersucht werden, ist eine unterrichtsspezifische Vereinfachung nicht erforderlich. Die Problemstellung und die Mittel zu ihrer Untersuchung sind anschaulich leicht zugänglich.

Vereinfachungen werden im allgemeinen bei der Kreislehre erforderlich. Exakte Begründungen kommen nicht ohne Grenzprozesse aus, z.B. für den Fall, dass man Parallelen zu beliebigen Kurven betrachtet.

Detaillierungsgrad

Den jeweiligen Sachsituationen angepasst.

Einsatz geeigneter Materialien (physikalische Modelle, Veranschaulichungen etc.)

Diverse Flächenmodelle aus Papier, Pappe und Holz. Die Längendifferenz zweier Parallelen kann als Umfang eines Kreises ("Mehrwegkreis") modelliert werden. Werden Kreis und (konvexe) Ausgangsfigur aus festem Material (dicke Pappe, Holz, etc.) gefertigt, kann die Parallele kinematisch erzeugt werden (Abrollen des Mehrwegkreises am Rand der Figur).

Dem Lernstoff und den S. angemessene Sprache

Dank dem hohen Anschauungsgehalt des Themas gibt es keine nennenswerten sprachlichen Hürden. Der Begriff "parallel" ist in einer vagen Bedeutung den meisten S. schon aus der Alltagssprache geläufig. Äquidistanz lässt sich zwanglos in Wendungen wiedergeben wie: "... hat überall den gleichen Abstand von ..." oder "Wir bewegen uns in gleichem Abstand um ... herum.". Der kinematische Aspekt spricht die S. an.

Weiterführende Erfahrungen und Erkenntnisse, die die Erarbeitung des Themas ermöglicht

Winkelsummensätze an konvexen n-Ecken;
ausbaufähiger begrifflicher Hintergrund für das Studium konvexer Figuren (und Körper), insbesondere Figuren konstanter Dicke und ihrer Anwendungen;
Zusammenhang zwischen Krümmung und Parallelität (in der elementaren Differentialgeometrie; vgl. [1])

Zur Verlaufsplanung

In einer Verlaufsplanung müssen die Elemente der Unterrichtseinheit in eine Reihenfolge gebracht werden. Es macht keinen Sinn (und ist auch gar nicht möglich), jedes Detail einer Unterrichtsstunde minutiös im voraus zu planen. Dennoch tut man gut daran, bestimmte Schlüsselstellen sorgfältig vorzubereiten und schriftlich zu fixieren. Bei den Unterrichtszielen, Merksätzen,  Übungs- und Hausaufgaben versteht sich das von selbst. Auch beim Tafelbild vermittelt ein wohldurchdachter Entwurf im Klassenzimmer die nötige Sicherheit (Improvisationen sind deswegen nicht ausgeschlossen).

Nicht weniger sorgfältig sollte man bei der Planung des Einstiegs, der Hilfen und der Alternativen zu Schülerreaktionen vorgehen. Vor allem bestimmte Schlüsselfragen, Aufforderungen und Arbeitsaufträge an die S. überlasse man besser nicht dem Zufall oder der Laune des Augenblicks. Wer es — als Anfänger — versäumt, diese Passagen schriftlich (wie in einem Drehbuch) zu fixieren, läuft Gefahr, in einer festgefahrenen Situation mit undurchdachten Hilfen oder vagen Aufforderungen die S. zu verwirren (mit den in solchen Fällen beinahe unvermeidlichen Folgen).

Das Thema "Parallelität" ist eine Unterrichtseinheit, die im allgemeinen vier, fünf oder mehr Stunden ausfüllen kann. Anstatt hier eine einzelne Unterrichtsstunde im Ganzen zu beschreiben, sollen im folgenden Beispiele zu den Planungspositionen entwickelt werden, die erfahrungsgemäß Anfängern besonders schwer fallen.

Ziel der Unterrichtsstunde bzw. Unterrichtseinheit

Soweit wie möglich selbständig sollen die S. folgende Invarianz entdecken: Der Längenunterschied paralleler (geschlossener) Kurven hängt nicht von der Form und Länge der Kurven ab, sondern einzig von ihrem Abstand a. Genauer gilt: Längenunterschied = Umfang eines Kreises vom Radius a = 2pa ("Mehrwegkreis").

Bemerkung: Die Einsicht in diesen Zusammenhang wird zunächst am Kreis und an einer Strecke, in späteren Stunden auch an einfachen Vielecken und an der Form einer Stadionbahn (Kombination aus Rechteck und Kreis mit bereits realisierten Parallelen) erarbeitet.

Ablauf des Einstiegs
Hilfen und ihre Reihenfolge
Denkbare Alternativen zu Schülerreaktionen

Der Einstieg nimmt die Fragestellung von Aufgabe 3 der fachdidaktischen Analyse auf ("Zwölf-Meilenzone für Piscinien"). Hiervon ausgehend soll eine einheitliche kinematische Grundvorstellung und Sprechweise gewonnen werden, etwa: Sich in gleichbleibendem Abstand um etwas herum bewegen. Oder noch etwas konkreter: Wir gehen in konstantem Abstand um ... herum.

Die Aufgabe Meilenzone wird vorgestellt; dazu ein Bild der Insel (mit unregelmäßiger, zerklüfteter Küste).

1. Schritt:

L.: Wie würdet ihr die Grenzlinie bestimmen?

S.: Auf einer Landkarte an einigen Stellen den Mindestabstand abtragen
S.: Einen großen Kreis um die Mitte der Insel zeichnen
S.: An der Küste entlangfahren und den Abstand mit Meßgeräten überprüfen

Zunächst wird frei nach Ideen für eine Lösung des Problems Ausschau gehalten. Auf alle Vorschläge ist einzugehen. Verwertbare Gedanken sollten an der Tafel notiert und im richtigen Moment wieder aufgegriffen werden. Hier enthält vor allem die zweite Antwort eine Idee, die sich weiterführen lässt.

2. Schritt:

L.: Gut [ ... ] Vielleicht wird die Sache leichter, wenn ihr euch vorstellt, daß die Insel ein Kreis ist. Wie müssten wir in diesem Fall die Frage stellen?

S.: Von einem Kreis immer denselben Abstand halten
S.: Einen noch größeren Kreis zeichnen

L.: Wie könnte das funktionieren?

S.: Mit einer gespannten Schnur

Der eigentliche Einstieg wird hier schon verlassen und das Problem variiert. Die S. vergegenwärtigen sich den vom L. angeregten Spezialfall. Auf ihre Antworten muss der L. differenziert eingehen. Zur zweiten Antwort wäre gemeinsam zu klären: Radius und Mittelpunkt des zweiten (größeren) Kreises. Zur dritten Antwort ist zu fragen: Wo wird die Schnur festgemacht? Wie lang muss sie sein? Am Ende dieser Phase muss klar sein: Die Grenzlinie ist ein Kreis.

3. Schritt:

L.: Die Küste hat eine Gesamtlänge von 85 km. Nun fährt ein Boot einmal um die Insel herum — direkt entlang der Grenzlinie ... Wie können wir herausfinden, wie viele Kilometer es fahren muss?

S.: Man muss wissen, wieviel eine Meile ist.

L.: Wie groß ist der Längenunterschied zwischen der Grenzlinie und dem Umfang der Insel?

L. wirft eine neue Frage auf, zu deren Beantwortung eine Reihe von Teilschritten mit den S. geplant werden muss:

- Meilen in km umrechen.
- Radius des größeren Kreises bestimmen
- Radius der Insel bestimmen

Die vereinbarte Schrittfolge wird an der Tafel festgehalten. Die rechnerische Durchführung leisten die S. (Partnerarbeit). Die Ergebnisse werden festgehalten.

4. Schritt:

L.: Was passiert, wenn der Radius der Insel immer kleiner wird?

S.: Der Umfang wird auch immer kleiner.
S.: Dann sieht das aus wie ein Kreis um seinen Mittelpunkt.

L.: Jetzt lassen wir den Radius auf Null schrumpfen. Was könnt ihr jetzt über die Längen sagen?

S.: Die eine ist Null.
S.: Die andere muss ich wieder ausrechnen.

Die Aufgabe wird weiter variiert (Grenzfall). Die S. werden veranlasst, die Insel gedanklich auf einen Punkt zusammenzuziehen. Als Hilfe dient eine Figur. Die zweite Antwort kann man nicht ohne weiteres erwarten (!). Der Umfang des größeren Kreises (Grenzlinie) wird wieder berechnet. Der Längenunterschied ist derselbe wie vorhin (dieses Ergebnis erarbeiten und festhalten).

5. Schritt usw ...

Anmerkungen

1. Der Verlaufsentwurf nutzt bis hierhin einen fragend-entwickelnden Stil, die Entdeckungsphasen sind stark (nicht gewaltsam) geführt, wobei die eigentliche Entdeckung, in welcher die Einheit kulminiert (Invarianz der Längendifferenz bei verschiedenen Inselformen) erst noch bevorsteht.
2. Der Entwurf setzt (implizit) Definition, Konstruktion und Umfangsberechnung des Kreises voraus.
3. Der Extremfall einer punktförmigen Insel könnte zum Anlass genommen werden, über Himmelkörper zu sprechen. "Sich um einen Punkt oder einen (kleinen) Kreis herum bewegen" wird manche S. vielleicht daran erinnern, dass die Erde um die Sonne kreist. Müsste dann nicht immer die gleiche Temperatur herrschen? Die Bahn ist eben kein exakter Kreis (sondern eine Ellipse), und damit haben die Jahreszeiten etwas zu tun.
4. Man kann Grenzfälle ("Punkt" und "Strecke") vermeiden. Es bleibt aber auch in anderen Fällen ("Rechteck", "Dreieck", "konvexes n-Eck") sorgfältig mit den S. zu klären, wie man in festem Abstand um eine Ecke herumgeht. Da die Abstandsstrecken senkrecht auf den Parallelen stehen, können die erforderlichen Konstruktionen mit Geodreieck und Zirkel ausgeführt werden. Vgl. [1], [2], [3].

Ergänzende Materialien

• Auch erfahrene Lehrer ...(Führer 1997)
• Parallele Linien (Scharrelmann 1914)
• Wo kommen Gleislinien vor? (Kusserow 1936)