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Ziele des Mathematikunterrichts

• Mathematik – aus guten Gründen?
• Mathematik in Gesellschaft und Schule
• Das Normenproblem. Lösungsvorschläge
• Diskurs über ausgewählte Ziele
• Ergänzende Materialien

Mathematik — aus guten Gründen?

Mit Mathematik beschäftigen sich viele Menschen. Gehört man selbst zu ihnen, so ist es keine schlechte Idee, sich bei Gelegenheit zu fragen: warum eigentlich? Interessant (und möglicherweise gar nicht so einfach) ist diese Frage vor allem dann, wenn man nach einer ehrlichen persönlichen Antwort sucht.

Die meisten Menschen, die sich mit Mathematik abgeben, tun es nicht aus freien Stücken — was nicht bedeutet, dass sie es freiwillig vielleicht nicht gern täten — und können daher nicht gefragt werden, weshalb sie sich so oder anders entschieden haben. Trotzdem wird kaum jemand ernsthaft dafür plädieren, Mathematik als obligatorisches Unterrichtsfach an allgemeinbildenden Schulen abzuschaffen. Selbst denjenigen, die als Schüler im Mathematikunterricht nicht überzeugt wurden, ist als Erwachsenen unbehaglich bei der Vorstellung, kommende Generationen könnten die Rechnung im Speiselokal nicht prüfen, die Mehrwertsteuer nicht berechnen oder die Fläche ihres Wohnzimmers nicht herausbekommen.

Bekanntlich gehen die Lehrpläne über solche Elementarkenntnisse aber deutlich hinaus, und dafür gibt es häufig angeführte und gewichtige Gründe, zum Beispiel:

• die unabweisbaren wissenschaftlichen und technischen "Herausforderungen der Zukunft"

• der (zumindest erhoffte) Beitrag der Mathematik zu Kernkompetenzen wie: rationales Denken, Abstraktions- und Sprachvermögen, Kommunikationsfähigkeit, Sachlichkeit

• die Meinung, wonach "die mathematische und naturwissenschaftliche Bildung ein historisch tief verwurzelter, essentieller Bestandteil der Allgemeinbildung" sei (aus einer Stellungnahme vom Mai 1998 der GDM und anderer fachdidaktischer Gesellschaften zum Mathematikunterricht und zur Lehrerbildung).

Rechtfertigungen dieser Art stellen die objektive Bedeutung heraus, die — aus offizieller Sicht — für die Mathematik in Anspruch genommen wird. Die darin enthaltenen Annahmen und Erwartungen sind keineswegs gesichert oder unstreitig; auch taugen sie kaum als Auswahl- oder Entscheidungskriterien. Dennoch braucht man sie: als politische Ziele, als allgemeine Vorgaben in Richtlinien, Stellungnahmen, Präambeln, usw. Zu einem Haus gehört eine Fassade, die es zwar nicht stützt, deswegen aber nicht überflüssig ist. Vor allem die Vorübergehenden schauen sie an; die Hausbewohner haben überwiegend eine andere Perspektive. Wird jemand Industriemathematiker, um die künftigen Standortqualitäten seines Landes zu sichern? Und wie sieht es mit den Gründen für die Berufswahl "Mathematiklehrer" aus?

In der Lehrerrolle spitzt sich die Angelegenheit zu: Allgemeine Rechtfertigungsgründe verleihen dem pädagogischen Auftrag, den Lehrende mit der Pflichtveranstaltung Mathematik kraft ihres Amtes zu erfüllen haben, einen überindividuellen Sinn. Dieser deckt sich in der Regel aber nicht mit den subjektiven Momenten, die für Schüler und auch Lehrer in ihrem individuellen Verhältnis zur Mathematik ausschlaggebend sind.

Der Konflikt lässt sich nicht auflösen, er liegt in der pädagogischen Situation selbst. Man kann ihn aber relativieren, indem man ihn annimmt und, in einem ersten Schritt, das eigene Verhältnis zur Mathematik durch eine realistische Selbstbefragung zu klären versucht. Niemand sollte erschrecken, wenn dabei auch weniger ansehnliche "Gründe" ans Licht gezogen werden, weit entfernt von abendländischen Bildungsidealen oder neuzeitlichen Kompetenzpostulaten. Übrigens muss man dort nicht stehenbleiben — ein entkrampftes Verhältnis bleibt ja entwicklungsfähig.

Was bedeutet das für die Mathematikdidaktik? Ein Unterricht, in dem der Schüler nicht bloß als Objekt von Erziehung, sondern als Subjekt von Lernprozessen gesehen wird, übernimmt damit auch die Aufgabe, seine allgemeinen Kategorien für die Perspektiven des Einzelnen zu öffnen. Wie weit (auch manchmal zu weit) man dabei gehen kann, wird in Baruk 1989 vorgeführt. Im folgenden soll dies — bezüglich der Wahrnehmung von Mathematik sowie der Absichten von Mathematikunterricht — zumindest ansatzweise versucht werden.

Mathematik in Gesellschaft und Schule

Goldenes Zeitalter?

Mathematik ist eine der ältesten und eindrucksvollsten Kollektivleistungen der Menschheit. Zudem ist sie überaus erfolgreich. Sie entwickelt Mittel und Methoden, mit denen viele Wissenschaftsdisziplinen ihre Probleme beschreiben und lösen können. Auf diese Weise ist sie zu einer unentbehrlichen Produktivkraft — und zunehmend auch Strukturierungsmacht — moderner Industrie- und Informationsgesellschaften geworden. Tatsächlich erlebt sie heute, über nationale Grenzen hinweg, eine Blütezeit. Devlin 1988 spricht gar vom "New Golden Age". Weltweit gibt es mehr Mathematiker als je zuvor, darunter eine ungewöhnlich große Zahl von Forschern ersten Ranges. Von ihrer Arbeit dringt normalerweise kaum etwas an die Öffentlichkeit. Immerhin haben aber einzelne spektakuläre Erfolge auch in Presse und Fernsehen Aufsehen erregt (etwa der Beweis der Vierfarben-Vermutung durch Appel und Haken 1976 oder zuletzt die Entscheidung des Fermatschen Problems durch Andrew Wiles 1995).

Das Jahr 2000 wurde zum Jahr der Mathematik erklärt, und dies bedeutete eine gute Gelegenheit für Öffentlichkeitsarbeit. Wieweit kann es überhaupt gelingen, einem großen Publikum die Faszination der Mathematik und den Sinn mathematischer Tätigkeit näherzubringen? Keine geringe Rolle spielen dabei didaktische Fragen.

Imageprobleme

Nicht erst heute stellt sich das Problem der Imagepflege. Rolle und Bedeutung der Mathematik werden schon lange höchst unterschiedlich, ja widersprüchlich wahrgenommen — von den öffentlichen Medien, vom allgemeinen Publikum, von den Mathematikern selbst. Vieles im Verhältnis überindividueller Ziele und Ansprüche einerseits zu subjektiven Momenten und Erfahrungen andererseits erscheint als schwer miteinander vereinbar. Vor diesem spannungsgeladenen Hintergrund hat sich so manches — negative wie positive — Vorurteil oder Klischee gebildet und in zum Teil überaus widerstandsfähigen Mythen verdichtet. Werfen wir einen Blick auf die problematische Seite!

Was ihre Sinnhaftigkeit für das Individuum, ihren Einfluss auf Entwicklung und Lebensweise des Einzelnen betrifft, so schneidet die Mathematik in der Meinung Außenstehender häufig alles andere als gut ab. Typische unfreundliche Einschätzungen lauten: weltfern, blutleer und kalt (weil abstrakt und theoretisch), männlich geprägt, erlebnisarm, sozial isolierend, unkreativ, und dgl. mehr. Entsprechend betrachtet man die für diese Attribute zuständigen Personen mit einer Mischung aus Respekt und Mißtrauen. Mathematiker scheinen sich von "normalen" Menschen dadurch zu unterscheiden, dass sie unverständliche, in ihrer Mehrheit vielleicht sogar unnütze, auf jeden Fall aber sozial und kulturell irrelevante (wenn nicht gar schädliche) Dinge betreiben. Wer hiervon ausgehend weiterreichende Vorwürfe wie Dummheit und Arroganz untermauern möchte, kann sich dann auch noch auf namhafte Kronzeugen berufen, etwa Georg Christoph Lichtenberg, Physiker und Zeitgenosse Goethes. In seinen berühmten Sudelbüchern vermerkte Lichtenberg, unter den Mathematikern fänden sich "die größten Plunderköpfe ..., untauglich zu irgendeinem Geschäft, das Nachdenken erfordert".

Praktisch jeder hat mit der Mathematik von der Schulbank aus Bekanntschaft gemacht. Dazu kommt die Person des Lehrers, nicht unbedingt in dominierender, oft aber doch in wichtiger und prägender Rolle. Wie schneidet die Mathematik, in der Erinnerung an die Schulzeit, aus dieser Sicht ab? Meinungsforscher wollen durch Befragung von deutschen Erwachsenen in den 90er Jahren herausbekommen haben, dass sie als Schulfach eine Favoritenstellung einnimmt (mit 46 % Nennungen noch vor Deutsch und Erdkunde), andererseits aber auch die Liste verhasster Fächer anführt (mit 24 % Nennungen vor Chemie und Physik) [wiedergegeben nach Führer 1997, S. 99-100]. Auf den ersten Blick muss dieses Ergebnis verwundern, wenn man an die Reserviertheit (bis hin zur offenen Antipathie) denkt, auf die Mathematik und Mathematiker in einer breiteren Öffentlichkeit immer wieder stoßen. Das Fach scheint zu irritieren und zu polarisieren.

Wer von Berufs wegen mit Mathematik beschäftigt ist, staunt immer wieder aufs neue, wenn Persönlichkeiten des "öffentlichen Lebens" vor laufender Fernsehkamera mit ihrer mathematischen Ignoranz kokettieren. Eine solche Werthaltung erschwert die Bemühungen um ein vernünftiges Verhältnis zur Mathematik und enthält, bei Licht besehen, eine tendenziell verheerende pädagogische Botschaft. — Wie ist dieses Phänomen zu verstehen? Zwar wird Mathematik in der Schule offiziell vor allem in bildender Funktion gesehen, de facto ist sie aber seit jeher auch ein Mittel der Selektion. Schüler, denen das Fach nicht liegt, bekommen es unglücklicherweise von dieser Seite her zu spüren. Gilt dieses Argument nicht für alle Fächer? Im Prinzip ja — mit dem Unterschied, dass mathematische Defizite nicht so leicht ausgeglichen (oder versteckt) werden können, am wenigsten durch fleißiges Auswendiglernen.

Krise des Mathematikunterrichts

Nach Heymann 1999 steckt der schulische Mathematikunterricht in einer dreifachen Krise:

• Akzeptanzkrise
  Hier kann man auf das negativ eingefärbte Bild der Mathematik in der Gesellschaft verweisen, aber auch darauf, dass ein großer Teil der Schülerschaft das Lernen des mathematischen Schulstoffs als wenig oder gar nicht sinnvoll erlebt. Das hat nicht nur subjektive Gründe; auch die Qualität des Unterrichts ist dafür verantwortlich.

• Legitimationskrise
  Es ist fraglich, ob der herkömmliche Lehrplan für den Mathematikunterricht weiterhin aufrechterhalten werden soll bzw. gerechtfertigt werden kann. Eine Neubestimmung und Akzentuierung des Lehrstoffs erscheint auch geboten, wenn man sich die zunehmend dominante Rolle von Computern im Klassenzimmer vergegenwärtigt.

• Effizienzkrise
  Man kommt nicht um die ernüchternde Feststellung herum, dass positive Wirkungen des Mathematikunterrichts offenbar nicht in dem erwünschten Ausmaß stattgefunden haben. Als ein Beleg dafür lässt sich die Vergleichsstudie TIMSS anführen [vgl. Baumert 1997], und als jüngstes Beispiel die sog. PISA-Studie der OECD.

Es ist vor allem die aktuelle Diskussion über die mangelnde Effektivität — es handelt sich in der Tat mehr um die unzureichende Wirkung als um ein schlechtes Verhältnis von Wirkung zu Aufwand —, welche die allgemeinen Bildungsziele des schulischen Mathematikunterrichts einmal mehr ins Rampenlicht rückt. Ist das (beobachtbare) Ergebnis vielleicht auch deshalb so mittelprächtig, weil wir im Mathematikunterricht die falschen Dinge allzusehr betonen und Wesentlicheres aus den Augen verloren haben?

Die Frage nach den im Mathematikunterricht anzustrebenden Zielen und nach dem zu vermittelnden Inhalt verdient aber schon vom Grundsatz her Beachtung. Auch die viel ältere und tiefer sitzende "Akzeptanzkrise" lässt vermuten, dass einige wichtige Dinge in der Tat nicht vermittelt werden.

Mit dem Nachdenken über die Frage(n), mit welchen Zielen welche Mathematik an der allgemeinbildenden Schule vermittelt werden soll, beginnen wir niemals bei Null, sondern finden uns sogleich mitten in einem verwirrenden Kräftespiel von Anforderungen und Forderungen. Da treffen wir auf die fachliche Mathematik mit ihren tatsächlichen und vermeintlichen Wesenszügen, auf die Institution Schule mit ihrem traditionellen Curriculum, auf die Gesellschaft mit ihren z.T. widersprüchlichen Erwartungen, auf die Wirtschaft mit ihren Mängelrügen und Forderungen.

Allein aus der Mathematik bzw. einem Bild von ihr ist eine Antwort nicht zu gewinnen. In vorhandene Lehrpläne und Richtlinien hineinzuschauen, kann interessant, anregend, manchmal ärgerlich sein — bedeutet aber auch nur, schon vorliegende Antworten zur Kenntnis zu nehmen. Durch Wissenschaft und Schule gesetzte Fakten sind zu berücksichtigen — als Bedingungsrahmen und Korrektiv bei der Zielsuche —, die Wahl und Abgrenzung der Ziele selbst ist hingegen ein normatives Problem eigenen Rechts. Es besteht darin zu klären, was man will und warum man es für wert hält. Die Wahrscheinlichkeit, dabei zu nicht übereinstimmenden, ja nicht einmal harmonisierbaren Ergebnissen zu kommen, ist — zumindest in einer demokratisch verfassten Gesellschaft — nicht gering. Infolgedessen ist im allgemeinen nicht die eine Lösung, zu erwarten, sondern konkurrierende Lösungsvorschläge.

Zum Normenproblem des Mathematikunterrichts gehören zwei Fragen:

1. die Frage nach allgemeinen Zielen für das Lehren und Lernen von Mathematik;
2. die Frage nach der Auswahl dafür geeigneter Stoffe.

Wer die Hoffnung hegt, eine Antwort auf die erste Frage könne aus übergeordneten Erziehungszielen oder einem Konzept von Allgemeinbildung abgeleitet werden, sieht sich bald enttäuscht. Auch auf der höheren Ebene stellt sich von neuem die normative Frage — z.B. danach, was wir überhaupt unter "Allgemeinbildung" verstehen sollen. Aber selbst dann, wenn man sich auf solche Vorgaben geeinigt hat, führen diese doch nicht unmittelbar zu Zielen, die in spezifischer Weise das Unterrichtsfach berücksichtigen und darüber Auskunft geben, welchen Beitrag wir gerade von der Mathematik erwarten dürfen. Will man aber fachspezifische Ziele begründen, so kommt man nicht an der zweiten Frage vorbei, an welchen Inhalten denn gelernt werden soll. Auch die Art und Weise, wie gelehrt und gelernt wird, kann nicht ausgespart bleiben.

Winters Lernzielkatalog

Winter 1975 hat in einem vielbeachteten Beitrag Lernziele mittlerer Stufe herausgearbeitet, indem er bestimmten Facetten der Mathematik entsprechende allgemeine Wesenszüge des Menschen gegenüberstellt.

Beispiel: Sofern Menschen wirtschaftende, Technik nutzende Wesen sind,  erweist sich auch die von ihnen geschaffene Mathematik als eine (in vielen Teilen) nützliche, anwendbare Wissenschaft. Für den Mathematikunterricht bedeutet dies, dass Schülern die Möglichkeit gegeben werden soll, "die praktische Nutzbarkeit der Mathematik zu erfahren". Insgesamt ergibt sich durch dieses Verfahren der Nebeneinanderstellung eine Liste von vier allgemeinen Zielen.

Lernziele aus österreichischen Lehrplänen

Eingangs hatten wir uns die Frage vorgelegt: Inwieweit sind allgemeine Ziele mit den subjektiven Perspektiven von Schülern (und Lehrern) in Einklang zu bringen? Der Ansatz von Fischer/Malle 1985 und einige der dort wiedergegebenen Lernziele aus österreichischen Lehrplänen ergänzen in gewissem Sinn den Katalog von Winter um einige (dort zumindest nicht explizit herausgearbeitete) Ziele im sozialen und affektiven Bereich.

Heymanns Allgemeinbildungskonzept

In seiner Bielefelder Habilitationsschrift Allgemeinbildung und Mathematik hat Heymann 1996 eine eingehende und bildungstheoretische Analyse des Normenproblems vorgelegt. In seinem weitgespannten Entwurf eines Allgemeinbildungskonzepts identifiziert er sieben Zielsetzungen, zu denen z.B. Lebensvorbereitung, Weltorientierung und Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch gehören.

Allerdings lässt sich — so räumt Heymann ein — aus solchen Rahmenvorgaben nicht "für sich genommen ableiten, was an Schulen gelehrt werden soll" [S. 131]. Es leuchtet unmittelbar ein: Der Beitrag des Mathematikunterrichts zur Lebensvorbereitung ergibt sich erst durch die Frage, welche Themen der Schulmathematik tatsächlich in Alltagspraxis und Berufsleben eine Rolle spielen. (Heymanns These, der Lehrplan schieße ab Klasse 7 diesbezüglich über den von ihm als gering eingeschätzten Bedarf hinaus, sorgte vielerorts in der Tagespresse für beträchtliche Unruhe, bot sich den Journalisten doch die willkommene Chance, ein drastisch verkleinertes Mathematikpensum unter Berufung auf eine wissenschaftliche Untersuchung zu fordern.)

Diskurs über ausgewählte Ziele

Im folgenden werden fünf mathematikspezifische Ziele betrachtet und kurz erläutert. Sie sind natürlich nicht neu und knüpfen zum Teil an den oben genannten Lösungsvorschlägen an. Es wird versucht, die Akzente so zu setzen, dass objektive Vorgaben (des Fachs) und subjektive Perspektiven (des Schülers) sich besser in Einklang bringen lassen. Auch Fragen der Stoffauswahl werden einbezogen.

1 — Anwendungswissen vermitteln

Anwendungswissen soll hier vergleichweise eingeschränkt (nämlich konzentriert auf Nützliches) verstanden werden: Es umfasst Kenntnisse und Fertigkeiten einschließlich Routinen, die man im alltäglichen Leben oder im Beruf benötigt; es dient demnach dem Ziel der Lebensvorbereitung. Für die allgemeinbildende Schule auszunehmen ist allerdings die "Spezialmathematik" bestimmter Berufe. Heymann [1996, S. 136] hat einen Katalog von Bausteinen zusammengestellt, auf die auch "Nicht-Mathematiker nach Abschluß ihrer Ausbildung ... bisweilen zurückgreifen". Darin findet sich unter anderem folgendes:

• Grundrechenarten,
• Rechnen mit Größen, Maßeinheiten,
• einfaches Messen (auch Abschätzungen und Überschläge),
• Dreisatz-, Prozent- und Zinsrechnen,
• Umgang mit Taschenrechnern,
• elementare geometrische Figuren und Körper,
• einfache Flächen- und Volumenberechnungen,
• graphische Darstellungen (anfertigen und verstehen),
• Zusammenhänge von Größen im Koordinatensystem.

Von diesen (und vergleichbaren) Grundfertigkeiten wird man in vielen Alltagssituationen profitieren: beim Einkauf im Supermarkt, beim Herausrechnen der Mehrwertsteuer, beim Tapezieren oder Möblieren eines Zimmers, beim Einstellen der Ölheizung, usw. — Zugegeben, so mancher lebt und "überlebt" auch mit weniger. Dennoch dürfen wir davon ausgehen, dass die meisten Menschen ein persönliches Interesse an dieser Form der Ertüchtigung entwickeln – vorausgesetzt man vermittelt ihnen das alles in dem Kontext, in dem es tatsächlich gebraucht wird.

Die Elemente von Anwendungswissen haben nicht selten Rezeptcharakter. Es liegt nichts Anstößiges darin; die Mathematik steckt voller Routinen, gerade das macht ja einen Teil ihres praktischen Erfolgs aus. Das Anwenden selbst (auch von Rezepten) kann allerdings nur gelingen, wenn Sachsituationen durchschaut und richtig auf die verfügbaren Beschreibungsmittel abgebildet werden. Blinder Gebrauch von Rezepten ist noch kein Wissen, und Wissen setzt voraus, dass man etwas verstanden hat.

2 — Orientierungswissen vermitteln

Der Begriff "Orientierung" zielt auf deutlich mehr und Fundamentaleres als jenen Teil der Lebensvorbereitung, den Anwendungswissen abdeckt. Heymann [1996, S. 135] bemerkt zurecht:

Ein Mathematikunterricht, der sich auf unmittelbare Lebensvorbereitung zu beschränken sucht, bereitet unzureichend auf das Leben vor.

Das Leben in heutigen Industrie- und Informationsgesellschaften spielt sich in komplexen Handlungsfeldern ab. Immer mehr Begriffe und Sachverhalte (eingeschlossen gesellschaftliche Probleme, Zusammenhänge, Prozesse, etc.) sind durchsetzt mit formalen, häufig mathematischen Aspekten. Für den Einzelnen ist es beinahe unmöglich geworden, sich über die damit verknüpften Themen in allen Fällen ein eigenes Urteil zu bilden:

• Bevölkerungswachstum,
• Steuergerechtigkeit,
• Tempolimit,
• Lebenshaltungskosten,
• Geldanlage, Altersvorsorge,
• Lebensversicherung,
• Eigenheimbau,
• usw. (nicht genannt die vielfältigen Themen aus Technik und Wissenschaft)

Das meiste davon bleibt notgedrungen Experten "überlassen". Orientierung in solchen Bereichen bedeutet, über mathematische Aspekte einer Situation hinaus auch zu deren sachlichem Gehalt vorzudringen.

An mathematischen Stoffen der Sekundarstufe, mit denen sich Themen der genannten Art angehen lassen, ist kein Mangel. Hier einige Bereiche (unter denen die Geometrie noch gar nicht berücksichtigt ist): geometrische Reihe, Funktionsbegriff, Wachstumsvorgänge, Umgang mit Daten, etwas Beschreibende Statistik (vor allem: Mittelwerte), elementare Stochastik, numerisches Rechnen (unter Einschluß von Taschenrechnern und Computer-Rechenprogrammen). In höherem Maße als beim Anwendungswissen liegt es hier in der Verantwortung des Einzelnen, durch Sacherkundung und Einsatz ihm verfügbarer mathematischer Mittel zu der gewünschten Orientierung zu gelangen. Das setzt ein grundlegendes Verständnis für mathematische Modellbildung voraus.

Orientierungswissen erwirbt man nicht "auf die Schnelle" (auch nicht in vordergründig "anwendungsorientierten" Unterrichtseinheiten). Es braucht geduldige Anstrengungen und Zeit zur Reifung. Für Lernende ist diese Perspektive nicht immer überzeugend. Für Lehrende, die Orientierungswissen im Unterricht vermitteln (oder gar abprüfen) wollen, gibt es ebenfalls kein simples Rezept. Drei Dinge sind wohl unerlässlich: eigene Kompetenz, passende Zielthemen und die Bereitschaft, von Zeit zu Zeit mit Schülern einen Anlauf zu wagen.

3 — Denk- und Urteilsfähigkeit stärken

Anwendungswissen gehört größtenteils zu dem, was man früher materiale Bildung nannte; beim Orientierungswissen treten in höherem Maße und gleichberechtigt formale Aspekte ("Mathematik anwenden können") hinzu. Stellen wir uns einmal ganz auf die formale Seite, so bleibt das Ziel, durch Mathematik das Denken zu schulen.

Es ist eine alte didaktische Tradition, in der Mathematik vor allem die disciplina mentis zu sehen, von der wir lernen können, wie man rational argumentiert, logisch korrekt begründet (beweist), Probleme (gleich welcher Art) löst oder auch nur etwas mehr Ordnung in seine Gedanken bringt. Pólya 1966 [Band II, S. 153] formulierte seine "altmodische Ansicht" über das Unterrichtsziel der Mathematik so:

An allererster Stelle soll sie den jungen Menschen das DENKEN beibringen.

Das wäre gewiss erfreulich. Aber wieviel kann die Mathematik wirklich dazu beitragen? Zumindest ist Skepsis angebracht, wenn wir dabei an den in der Schule erteilten Unterricht denken. Das Einschleifen von Routinen zum Lösen von Standard-Aufgaben wird jedenfalls kaum dazu beisteuern, dass sich die allgemeine Denkfähigkeit verbessert. Und wie realistisch ist es überhaupt anzunehmen, geistige Fähigkeiten und abstraktes Denkvermögen ließen sich durch Unterricht grundlegend und gezielt verbessern? Zumindest Vorsicht erscheint hier geboten.

Aber auch für sich genommen hat das Ziel formaler Denkschulung, wenn es zu sehr betont oder zu eng aufgefasst wird, seine Schwierigkeiten:

• Denk- und Problemlösefähigkeiten sind nicht gleichmäßig verteilt. So besteht immer die Gefahr, dass einige (oft wenige) Schüler von ihren Erfolgen und der damit verbundenen Vollzugslust profitieren, während die schwächeren frustriert sind und immer mehr zurückfallen.

• Eine weitere Gefahr droht, wenn man sich von bedeutungsvollen Inhalten absondert. Denken wird dann leicht ein Selbstzweck und rückt in die Nähe logischer Exerzitien oder gar rätselknackender Gedankenakrobatik. Es kann nicht das Ziel der Schule sein, auf die Hervorbringung kindlicher Mathematikgenies hinzuwirken (was nicht heißt, man solle diese nicht entdecken oder fördern).

Aus diesen (und weiteren) Gründen ist es sinnvoll, Denkfähigkeit an andere Qualifikationen zu koppeln, vor allem Urteils- und Kritikvermögen. (Damit wird eine Brücke zum Orientierungswissen geschlagen, das ja von der Auseinandersetzung mit einer meist außermathematischen Sache lebt.) Die kritische Beurteilung eines Sachverhalts setzt aber voraus, dass man ihn gründlich verstanden hat. Der Mathematikunterricht sollte sich daher verstärkt der Aufgabe zuwenden, das Verstehen von Sachverhalten zu fördern. Der Versuch, eine Sache gründlich und möglichst umfassend zu verstehen, ist im übrigen ein charakteristischer Zug der mathematischen Arbeit.

Fazit: Das Ziel "Denken lernen" sollte mit Augenmaß angestrebt werden. Es sollte auf bedeutungsvolle Inhalte ausgerichtet sein, auf Verstehensprozessen aufbauen und den Schülern genügend subjektive Antriebsmomente lassen. Auch bescheidene Erfolge, die aufgrund eigener Denkanstrengungen errungen werden, stärken das Selbstvertrauen bei der Lösung künftig auftretender Probleme.

4 — Sprach- und Kommunikationsfähigkeit fördern

Das Ausmaß, in dem die Mathematik zur Entwicklung und Verbesserung von Sprach- und Kommunikationskompetenz beitragen kann, wird gewöhnlich unterschätzt oder mitunter gar nicht gesehen. Dabei "leiht" die Mathematik nicht nur vielen Wissenschaften ihre Fachsprache, sondern ist selber ein Sprachmittel, mit dem wir unsere Ausdrucksmöglichkeiten in logischer, visueller und struktureller Hinsicht beträchtlich erweitern. Mit Nachdruck unterstreichen Winter 1975 und Führer 1997 [in Abschnitt 6.3] die Rolle des Sprachlehrers, die dem Mathematiklehrer im Klassenzimmer zufällt.

Bei näherer Betrachtung lassen sich folgende Aspekte in der Beziehung "Sprache-Mathematik" ausmachen, die inhaltlich hier nur angedeutet werden können:

• Die Umgangssprache wird ergänzt und erweitert, z.B. durch behutsamen Einsatz von Fachbegriffen, durch den Gebrauch visueller Darstellungsmittel (Diagramme, Schaubilder, etc.). Zu letzterem vgl. auch Kapitel 6 von Fischer/Malle 1985.

• Aussagen werden präzisiert und verdichtet, etwa durch die Auflösung impliziter logischer Verhältnisse und durch die Verwendung symbolischer Sprachelemente (wie sie in Formeln vorkommen).

• Schöpferisches Sprachverhalten wird vor allem dann angeregt, wenn in Entdeckungssituationen neue Objekte ins Blickfeld rücken, für die man noch keinen Namen hat.

• Die gemeinsame Arbeit an der Lösung einer Aufgabe erfordert ein hohes Maß an Kommunikation über mathematische Sachverhalte. Auch Beweise stellen eine spezielle Form der Mitteilung dar.

Auf einen bedenkenswerten Zusammenhang von Sprachförderung und Sozialform hat Führer 1997 [S. 91] hingewiesen:

Die unerläßliche Schulung des passiven und aktiven Sprachverständnisses verlangt – neben ökonomischen Notwendigkeiten –, öffentlichen Unterricht nicht ständig zu differenzieren und zu individualisieren ("Stillarbeit", Partnerarbeit, Nachhilfe, Stützkurse), sondern ihn immer wieder gemeinschaftlich, in größeren Lerngruppen zu veranstalten und dort an der Ausdrucksweise der Schüler, zunächst einmal der umgangssprachlichen, dann aber auch der fachsprachlichen, mit einer gewissen Hartnäckigkeit zu arbeiten.

5 — Freude an der Mathematik wecken

Mit Freude ist hier keine pädagogische Freude gemeint, keine "Freude, um zu ...", die — verständlich aus Lehrersicht — als Motor für eifriges Weiterlernen in Dienst genommen wird. Freude an der Mathematik erscheint vor allem dann als ein erstrebenswertes Ziel, wenn sie Selbstzweck ist, um ihrer selbst willen hervorgerufen und empfunden wird. Warum? Üblicherweise wird Mathematik über ihre Anwendungserfolge und ihren praktischen Nutzen in Technik, Wissenschaft und Wirtschaft gerechtfertigt. Sie trägt damit bei zum Bau hilfreicher Maschinen, zur Erleichterung von Arbeitsvorgängen, zur Erhaltung und Mehrung des wirtschaftlichen Wohlstands, usw. Mit alledem will man Zeit gewinnen. Die gewonnene Zeit wird dann häufig wieder dafür genutzt, Mathematik zu betreiben, die zum Bau anderer hilfreicher Maschinen oder zu mehr Wohlstand beisteuert — und so schließt sich der für die westliche Zivilisation typische zweckrationale Kreis. Die schlechte Bilanz dieser "Rationalität" für das menschliche Leben lässt sich aufbessern, indem man ihren Zweckkreislauf unterbricht und sich (nutzlosen) Dingen zuwendet, mit denen man sich um ihrer selbst willen beschäftigt.

Ist die Mathematik dazu überhaupt geeignet und bieten auf diesem Felde nicht Musik, Kunst, Literatur, Sport oder einfach Unterhaltung und Freizeitspaß die besseren Möglichkeiten? Mag sein. Andererseits sieht sich doch gerade die Mathematik immer wieder dem Verdacht der Nutzlosigkeit ausgesetzt, und tatsächlich gibt es nicht weniges, das einigermaßen weit entfernt von irgendeiner praktischen Verwertung zu sein scheint.

Es liegt in der Natur der Sache, dass die (nützlichen und weniger nützlichen) mathematischen Dinge, an denen Freude entsteht, nicht allgemein fixierbar sind, schon gar nicht in einem Curriculum. Es gibt Kinder, die mit wachsender Begeisterung Zahlenschlangen aus Summen von Ziffernquadraten berechnen oder geometrische Figuren mit farbigen Mustern ausmalen. Andere erfreuen sich an der Herstellung von Parketten und Ornamenten, am Anblick oder Bau regelmäßiger Körper, an der selbstentdeckten Lösung einer schwierigen oder leichteren Aufgabe, an einem verblüffenden Theorem, an ganz anderen — unvorhersehbaren — Aspekten.

Im Unterricht sollte man getrost auch einmal andeuten, wo der Zweckkreislauf der Mathematik verlassen werden kann, und immer wieder Zeit, nicht beschränkt auf Vertretungsstunden, für diese Sicht der Dinge einräumen. Auch Lehrer können dabei "Farbe bekennen" und Anregungen geben, die eigenen Vorlieben entspringen. Es ist völlig normal, dass sich nicht alle Menschen — im Endeffekt sogar nur wenige — für Mathematisches interessieren können. Man erwarte also nicht, bei allen Schülern Freude an der Mathematik wecken zu können. Schon gar nicht sollten Wertungen von außen aufgedrängt werden. Freilich, ungern denkt man an den Unterricht eines Lehrers, der selbst keine Freude an der Mathematik hat.

Weitere Ziele ...?

Natürlich kann eine Auswahl von Zielen, wie sie hier getroffen wurde, nicht erschöpfend sein — weder vom Umfang noch von der Begründungstiefe her. Der hier begonnene Diskurs ist denn auch als Vorlage für eine Diskussion zu verstehen. Es sollte deutlich geworden sein, dass die Sinnfragen zur Mathematik und zum Mathematiklernen dabei nicht ausgeklammert werden können.

Der Begriff der Allgemeinbildung ist längst nicht mehr selbstverständlich. Wer allgemeine fachbezogene Zielvorstellungen formuliert, betritt damit — gewollt oder nicht — unsicheren bildungstheoretischen Boden. Schließlich wollen derartige Zielvorgaben herausstellen, welchen Beitrag das Schulfach Mathematik zur Allgemeinbildung leisten kann. Die Spannbreite einer solchen Diskussion ist groß. Aus einer pragmatischen Position, die das Eingehen auf "aktuelle Trends" für nötig hält, würde man z.B. die Herausforderung des schulischen Lernens durch den Computer stärker betonen. In Betracht käme aber auch eine Forderung wie die, Schülern die Chance zu geben, mehr als bisher über die Bedeutung der Mathematik in Geschichte, Kultur und Gesellschaft zu erfahren.

Ergänzende Materialien

• Die Frage des Bildungssinns ... (Fischer/Malle)
• "Mathe ist eben kein Laberfach" (Führer)
• Das didaktische Quantitätsproblem (Lenné)
• Ansatz zur Formulierung allgemeiner Lernziele (Winter)
• Allgemeine Lernziele (Österreichischer Lehrplan)
• Sieben Aufgaben allgemeinbildender Schulen (Heymann)